Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
Temos o sistema de equações de primeira ordem acopladas
dot x - y = t, x - dot y = 1,
com condições iniciais x(0)=2 e y(0)=1. O conteúdo aqui é transformada de Laplace: vamos usar a propriedade Ldot u=sU(s)-u(0), montar um sistema algébrico em X(s) e Y(s), resolver por frações parciais e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicando L em cada equação, usando X(s)= Lx(t) e Y(s)= Ly(t):
Ldot x- Ly: sX(s)-2 - Y(s)=1s^2,
Lx- Ldot y: X(s)-l(sY(s)-1r)=1s,
ou seja
sX(s)-Y(s)=1s^2+2, X(s)-sY(s)=1s-1
Passo 3
Da segunda equação isolamos X(s):
X(s)=sY(s)+1s-1
Substituindo em sX(s)-Y(s)=1/s^2+2 e rearranjando, obtemos
(s^2-1)Y(s)=1s^2+1+s
e portanto
Y(s)=1/s^2 + s +1s^2-1
Passo 4
Para inverter, fazemos frações parciais em
Y(s)=1s^2(s^2-1)+s+1s^2-1
Calculando coeficientes, encontra-se
Y(s)=3/2s-1-1s^2-1/2s+1
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo: