Usando o método da transformada de Laplace, resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t-y=t x-d yd t=1 x(0)=2, y(0)=1

Passo 1

Temos o sistema de equações de primeira ordem acopladas
dot x - y = t, x - dot y = 1,
com condições iniciais x(0)=2 e y(0)=1. O conteúdo aqui é transformada de Laplace: vamos usar a propriedade Ldot u=sU(s)-u(0), montar um sistema algébrico em X(s) e Y(s), resolver por frações parciais e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando L em cada equação, usando X(s)= Lx(t) e Y(s)= Ly(t):
Ldot x- Ly: sX(s)-2 - Y(s)=1s^2,
Lx- Ldot y: X(s)-l(sY(s)-1r)=1s,
ou seja
sX(s)-Y(s)=1s^2+2, X(s)-sY(s)=1s-1

Passo 3

Da segunda equação isolamos X(s):
X(s)=sY(s)+1s-1
Substituindo em sX(s)-Y(s)=1/s^2+2 e rearranjando, obtemos
(s^2-1)Y(s)=1s^2+1+s
e portanto
Y(s)=1/s^2 + s +1s^2-1

Passo 4

Para inverter, fazemos frações parciais em
Y(s)=1s^2(s^2-1)+s+1s^2-1
Calculando coeficientes, encontra-se
Y(s)=3/2s-1-1s^2-1/2s+1

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1tfrac3/2s-1=tfrac32e^t, L^-1tfrac1s^2=t, L^-1tfrac1/2s+1=tfrac12e^-t
Logo
y(t)=32e^t - t - 12e^-t

Passo 6

Para achar x(t), usamos
X(s)=sY(s)+1s-1
Substituindo Y(s) e simplificando por decomposição, chega-se a
X(s)=3/2s-1+1/2s+1
Invertendo:
x(t)=32e^t + 12e^-t

Resposta

x(t)=\frac{3}{2}et+\frac{1}{2}e{-t},\quad y(t)=\frac{3}{2}e^t - t - \frac{1}{2}e^{-t}

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