Em cada caso considere a matriz . Encontrar uma matriz tal que a matriz seja diagonal.
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A de ordem 2x2, e a tarefa é encontrar outra matriz M tal que, quando a gente fizer M^-1 A M , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso tudo está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente no tópico de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz A .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio lambda de uma matriz A é um número tal que existe um vetor não nulo v que satisfaz a equação A v = lambda v . Esse vetor v é chamado de vetor próprio correspondente ao valor próprio lambda .
Passo 3
Vamos começar encontrando os valores próprios de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - 1I)v = 0 :
0 & 2 0 & -3 x y = 0 0
Isso nos dá as equações:
0x + 2y = 0 Rightarrow y = 0
0x - 3y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o vetor próprio é de forma:
v1 = 1 0
Para lambda2 = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
3 & 2 0 & 0 x y = 0 0
Isso nos dá a equação:
3x + 2y = 0 Rightarrow y = -32x
Escolhendo x = 2 , temos y = -3 . Então, o vetor próprio é:
v2 = 2 -3
Passo 7
Agora que temos os valores próprios e os vetores próprios, podemos formar a matriz M com os vetores próprios como colunas:
M = 1 & 2 0 & -3
Passo 8
Para garantir que M seja invertível, verificamos se o determinante de M é diferente de zero:
det(M) = (1)(-3) - (2)(0) = -3 neq 0
Então, M é invertível.
Passo 9
Por fim, calculamos M^-1 A M . Sabendo que M é formada pelos vetores próprios, essa operação vai resultar em uma matriz diagonal cujos elementos são os valores próprios de A :