Em cada caso considere a matriz A in Mn times n(R). Encontrar uma matriz M in Mn times n(R) tal que a matriz M^-1 A M seja diagonal.
A=(cc1 & 2 0 & -2)

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A de ordem 2x2, e a tarefa é encontrar outra matriz M tal que, quando a gente fizer M^-1 A M , o resultado seja uma matriz diagonal. Isso tudo está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente no tópico de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz A .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio lambda de uma matriz A é um número tal que existe um vetor não nulo v que satisfaz a equação A v = lambda v . Esse vetor v é chamado de vetor próprio correspondente ao valor próprio lambda .

Passo 3

Vamos começar encontrando os valores próprios de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 2 0 & -2 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-2 - lambda) - (0 times 2) = (1 - lambda)(-2 - lambda)

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
(1 - lambda)(-2 - lambda) = 0
Isso nos dá duas soluções para lambda :
lambda1 = 1 e lambda2 = -2
Então, os valores próprios são 1 e -2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - 1I)v = 0 :
0 & 2 0 & -3 x y = 0 0
Isso nos dá as equações:
0x + 2y = 0 Rightarrow y = 0
0x - 3y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o vetor próprio é de forma:
v1 = 1 0
Para lambda2 = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
3 & 2 0 & 0 x y = 0 0
Isso nos dá a equação:
3x + 2y = 0 Rightarrow y = -32x
Escolhendo x = 2 , temos y = -3 . Então, o vetor próprio é:
v2 = 2 -3

Passo 7

Agora que temos os valores próprios e os vetores próprios, podemos formar a matriz M com os vetores próprios como colunas:
M = 1 & 2 0 & -3

Passo 8

Para garantir que M seja invertível, verificamos se o determinante de M é diferente de zero:
det(M) = (1)(-3) - (2)(0) = -3 neq 0
Então, M é invertível.

Passo 9

Por fim, calculamos M^-1 A M . Sabendo que M é formada pelos vetores próprios, essa operação vai resultar em uma matriz diagonal cujos elementos são os valores próprios de A :
M^-1 A M = 1 & 0 0 & -2

Resposta

A matriz M que diagonaliza A é:
M = 1 & 2 0 & -3
E a matriz diagonal resultante é:
M^-1 A M = 1 & 0 0 & -2

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