Verifique se os vetores vecu, v e vecw são LD ou LI.
vecu=(1,2,1), v=(1,-1,-7), w=(4,5,-4)

Passo 1

Beleza, o que rola aqui é: temos três vetores
vec u=(1,2,1), vec v=(1,-1,-7), vec w=(4,5,-4)
e a parada é descobrir se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). O conteúdo da matéria é combinação linear e sistemas lineares. Para resolver, vamos montar a equação
avec u + bvec v + cvec w = vec 0
e ver se a única solução é a=b=c=0 (LI) ou existe outra (LD).

Passo 2

Teoria rápida:
  • Vetores são LI se a única forma de combinação avec u + bvec v + cvec w=vec0 é com a=b=c=0.
  • Se acharmos a,b,c não todos nulos que satisfaçam essa igualdade, eles são LD.
    Pra isso, montamos o sistema linear e escalonamos.

Passo 3

Escrevendo o sistema em forma de matriz aumentada:

Passo 4

Vamos escalonar passo a passo (R2 e R3 em função de R1, etc.):
  1. e :
  1. deixa a terceira linha toda zero:

Passo 5

Como a última linha virou 0=0, temos só duas equações para três incógnitas.
  • Da linha 2: -3b -3c = 0 b + c = 0 b = -c.
  • Da linha 1: a + b + 4c = 0 a = -b -4c = -(-c) -4c = -3c.
    Logo (a,b,c)=(-3c,-c,c). Se escolhermos cneq0, vem solução não trivial.
Isso mostra que existe combinação não trivial, logo os vetores são LD.

Resposta

Os vetores vec u, vec v e vec w são linearmente dependentes.

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