Em cada caso considere a matriz . Encontrar uma matriz tal que a matriz seja diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A = 0 & 2 1 & 1 e queremos encontrar uma outra matriz M tal que, quando transformamos A usando M , a nova matriz M^-1 A M fique toda diagonal. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de A .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Autovalores são números lambda que satisfazem a equação característica: det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - lambda - 2 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 1 + 32 = 2 e lambda2 = 1 - 32 = -1
Passo 5
Agora que temos os autovalores lambda1 = 2 e lambda2 = -1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Um autovetor v satisfaz (A - lambda I)v = 0 .
Passo 6
Para lambda1 = 2 :
A - 2I = -2 & 2 1 & -1
Resolvendo (A - 2I)v = 0 :
-2v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Então, um autovetor para lambda1 = 2 é v1 = 1 1 .
Passo 7
Para lambda2 = -1 :
A + I = 1 & 2 1 & 2
Resolvendo (A + I)v = 0 :
v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -2v2
Então, um autovetor para lambda2 = -1 é v2 = -2 1 .
Passo 8
Agora, vamos montar a matriz M usando os autovetores como colunas:
M = 1 & -2 1 & 1
E a matriz diagonal D será formada pelos autovalores na diagonal: