Em cada caso considere a matriz A in Mn times n(R). Encontrar uma matriz M in Mn times n(R) tal que a matriz M^-1 A M seja diagonal.
A=(ll0 & 2 1 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada A = 0 & 2 1 & 1 e queremos encontrar uma outra matriz M tal que, quando transformamos A usando M , a nova matriz M^-1 A M fique toda diagonal. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de A .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Autovalores são números lambda que satisfazem a equação característica: det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a equação característica:
A - lambda I = 0 - lambda & 2 1 & 1 - lambda = -lambda & 2 1 & 1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (-lambda)(1 - lambda) - (2)(1) = -lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - lambda - 2
Então, a equação característica é:
lambda^2 - lambda - 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - lambda - 2 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 1 + 32 = 2 e lambda2 = 1 - 32 = -1

Passo 5

Agora que temos os autovalores lambda1 = 2 e lambda2 = -1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Um autovetor v satisfaz (A - lambda I)v = 0 .

Passo 6

Para lambda1 = 2 :
A - 2I = -2 & 2 1 & -1
Resolvendo (A - 2I)v = 0 :
-2v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Então, um autovetor para lambda1 = 2 é v1 = 1 1 .

Passo 7

Para lambda2 = -1 :
A + I = 1 & 2 1 & 2
Resolvendo (A + I)v = 0 :
v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v1 = -2v2
Então, um autovetor para lambda2 = -1 é v2 = -2 1 .

Passo 8

Agora, vamos montar a matriz M usando os autovetores como colunas:
M = 1 & -2 1 & 1
E a matriz diagonal D será formada pelos autovalores na diagonal:
D = 2 & 0 0 & -1

Resposta

A matriz M que diagonaliza A é:
M = 1 & -2 1 & 1
E a matriz diagonal resultante é:
M^-1 A M = 2 & 0 0 & -1

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