Em cada caso considere a matriz
. Encontrar uma matriz
tal que a matriz
seja diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
ou seja, encontrar uma matriz invertível
M tal que
seja diagonal. Para isso vamos:
- Calcular o polinômio característico de
e achar os autovalores.A - Para cada autovalor, resolver
e obter autovetores.(A-lambda I)v=0 - Montar
com esses autovetores como colunas.M
Passo 2
Calculando o polinômio característico
fazendo a expansão e simplificando, chega-se a
cujo fatoramento é
Logo os autovalores são
lambda1=-1 (multiplicidade 2) e
lambda2=-2 .
Passo 3
Para
lambda=-1 resolvemos
(A+I)v=0 :
que dá a equação
Tomando
x=s ,
y=t , obtemos
Então uma base do espaço próprio em
lambda=-1 é
(1,0,2)^T,,(0,1,2)^T .
Passo 4
Para
lambda=-2 resolvemos
(A+2I)v=0 :
que leva ao sistema
Dessa última obtemos
y=-x e então
z=x . Assim um autovetor é
;(1,-1,1)^T
Passo 5
Escolhendo como colunas de
M os três autovetores obtidos, por exemplo
temos
que é invertível (determinante
1 ). Nesse caso