Em cada caso considere a matriz A in Mn times n(R). Encontrar uma matriz M in Mn times n(R) tal que a matriz M^-1 A M seja diagonal.
A=(ccc1 & 2 & -1 -2 & -3 & 1 2 & 2 & -2)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A= 1 & 2 & -1 -2 & -3 & 1 2 & 2 & -2
ou seja, encontrar uma matriz invertível M tal que
M^-1AM=D
seja diagonal. Para isso vamos:
  1. Calcular o polinômio característico de A e achar os autovalores.
  2. Para cada autovalor, resolver (A-lambda I)v=0 e obter autovetores.
  3. Montar M com esses autovetores como colunas.

Passo 2

Calculando o polinômio característico
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 2 & -1 -2 & -3-lambda & 1 2 & 2 & -2-lambda
fazendo a expansão e simplificando, chega-se a
lambda^3+4lambda^2+5lambda+2=0,
cujo fatoramento é
(lambda+1)^2(lambda+2)=0
Logo os autovalores são lambda1=-1 (multiplicidade 2) e lambda2=-2.

Passo 3

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
(A+I)= 2 & 2 & -1 -2 & -2 & 1 2 & 2 & -1 ,
que dá a equação
2x+2y-z=0Longrightarrow z=2x+2y
Tomando x=s, y=t, obtemos
v=s102 +t012
Então uma base do espaço próprio em lambda=-1 é
(1,0,2)^T,,(0,1,2)^T.

Passo 4

Para lambda=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
(A+2I)= 3 & 2 & -1 -2 & -1 & 1 2 & 2 & 0 ,
que leva ao sistema
3x+2y-z=0,; -2x -y+z=0,; 2x+2y=0
Dessa última obtemos y=-x e então z=x. Assim um autovetor é
;(1,-1,1)^T

Passo 5

Escolhendo como colunas de M os três autovetores obtidos, por exemplo
v1=(1,0,2)^T,; v2=(0,1,2)^T,; v3=(1,-1,1)^T,
temos
M= 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 2 & 2 & 1 ,
que é invertível (determinante 1). Nesse caso
M^-1AM =diag(-1,,-1,,-2)

Resposta

M= 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 2 & 2 & 1

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