Exercício 5. Determine
, sabendo que
e
são vetores LI e que
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a questão pede para achar os números reais α e β, sabendo que u e v são vetores linearmente independentes (LI) e que
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores e o fato de que, se dois vetores são LI, a única forma de uma combinação virar o vetor zero é ter todos os coeficientes iguais a zero. Vamos usar isso para igualar coeficientes e resolver para α e β.
Passo 2
Primeiro, traga tudo para um lado da igualdade, deixando zero do outro:
Agora junte os termos que multiplicam u e os que multiplicam v.
Passo 3
Agrupando, fica
ou seja
Passo 4
Como u e v são LI, para essa combinação ser o vetor zero, cada coeficiente tem que ser zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da equação (2): .
Substituindo na (1):
Da equação (2):
Substituindo na (1):
Então
.