Exercício 5. Determine alpha, beta in R, sabendo que u e v são vetores LI e que
(alpha-1) u+beta v=beta u-(alpha+beta) v

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a questão pede para achar os números reais α e β, sabendo que u e v são vetores linearmente independentes (LI) e que
(alpha-1),vec u ;+;beta,vec v ;=;beta,vec u ;-;(alpha+beta),vec v
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores e o fato de que, se dois vetores são LI, a única forma de uma combinação virar o vetor zero é ter todos os coeficientes iguais a zero. Vamos usar isso para igualar coeficientes e resolver para α e β.

Passo 2

Primeiro, traga tudo para um lado da igualdade, deixando zero do outro:
(alpha-1)vec u + betavec v - betavec u + (alpha+beta)vec v ;=;vec 0
Agora junte os termos que multiplicam u e os que multiplicam v.

Passo 3

Agrupando, fica
l((alpha-1)-betar),vec u ;+;l(beta + (alpha+beta)r),vec v ;=;vec 0,
ou seja
(alpha -1 -beta),vec u ;+;(alpha +2beta),vec v ;=;vec 0

Passo 4

Como u e v são LI, para essa combinação ser o vetor zero, cada coeficiente tem que ser zero:
  1. alpha -1 -beta = 0
  2. alpha +2beta = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da equação (2): alpha = -2beta.
Substituindo na (1):
(-2beta) - 1 - beta = 0 ;Longrightarrow;-3beta = 1 ;Longrightarrow;beta = -tfrac13
Então alpha = -2l(-tfrac13r) = tfrac23.

Resposta

alpha = tfrac23, beta = -tfrac13

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