Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado é simples: esboçar o gráfico da função
O que o problema pede: desenhar (ou saber como desenhar) o gráfico no plano
. Informações dadas (diretamente da definição da função):
- A função é
. - Não há outras informações visuais fornecidas; tudo será obtido por análise algébrica e qualitativa da função.
Passo 2
Determinar o domínio e continuidade (passo básico antes de desenhar).
- Denominador é
. Como para todo , não há zeros do denominador. - Logo, o domínio é
(todos os números reais) e a função é contínua em todo .
Passo 3
Comportamento para grandes valores de
— assíntotas horizontais.
- Para
a ordem do numerador é e do denominador é , então
- Portanto existe uma assíntota horizontal
. Como a função cruza o eixo (veremos), essa assíntota é o eixo ao qual a curva se aproxima quando cresce.
Passo 4
Simetria da função (ajuda muito a esboçar).
- Calcular
:
- Conclusão:
é função ímpar. O gráfico é centrado na origem e tem simetria de rotação de em torno da origem. Assim, basta estudar a metade direita e refletir para a esquerda com sinal invertido.
Passo 5
Interceptos com os eixos.
- Intercepto com eixo
: . Então passa por . - Intercepto com eixo
: resolver dá (única solução). Logo o único ponto de interseção é a origem.
Passo 6
Comportamento local perto da origem (linha tangente).
- Expandindo para pequenas
: , então
- Portanto, perto de
a função se comporta como . A tangente em tem inclinação .
Passo 7
Derivada, pontos críticos e monotonicidade — passo a passo com regra do quociente.
- Aplicando a regra do quociente: se
então . Aqui e . - Calcular derivadas:
, . - Logo
- Zeros de
: resolver dá . Esses são os pontos críticos. - Sinal de
: - Se
então e → função crescente em . - Se
então e → função decrescente em e em .
- Se
Passo 8
Valores nos pontos críticos e classificação (máximo/minimo).
- Calcular
e :
- Pela monotonicidade encontrada: em
a função muda de decrescente para crescente → é mínimo local (e vale ). - Em
a função muda de crescente para decrescente → é máximo local (e vale ). - Comparando com os limites no infinito (
), esses extremos são também extremos globais: o maior valor de é em e o menor é em .
Passo 9
Segunda derivada e concavidade (explicando o procedimento).
- Derivar
. Usar novamente quociente ou fatorizar para facilitar. Fazendo as contas:
(Desenvolvimento curto: diferenciando o numerador e o denominador e simplificando dá essa expressão.)
- Pontos de inflexão: zeros de
quando ou . - Sinal de
(denominador positivo sempre): - Para
: escolhe e obtém → concavidade para baixo. - Para
: escolhe e obtém → concavidade para cima. - Para
: escolhe e obtém → concavidade para baixo. - Para
: escolhe e obtém → concavidade para cima.
- Para
- Portanto:
- Concava para baixo em
. - Concava para cima em
.
- Concava para baixo em
Passo 10
Valores nos pontos de inflexão.
- Calcular
:
- Também
. Esses três pontos são onde a curvatura muda de sinal (inflection points).
Passo 11
Resumo das características importantes (o que marcar no esboço).
- Domínio:
. - Simetria: função ímpar (simetria em relação à origem).
- Assíntota horizontal:
quando . - Intercepto:
. - Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
. - Decrescente em
e em .
- Crescente em
- Extremos:
- Mínimo global/local em
com . - Máximo global/local em
com .
- Mínimo global/local em
- Concavidade:
- Inflexões em
com valores . - Concavidade trocada conforme o passo anterior.
- Inflexões em
- Comportamento em origem: tangente com inclinação
(reta é aproximação local).
Passo 12
Como esboçar, passo a passo prático que pode ser feito na prova sem calculadora:
- Desenhe os eixos e marque o eixo
como assíntota horizontal aproximada . - Marque os pontos chave:
-
, , . -
e (aprox. ).
-
- Pelo fato de ser ímpar, desenhe a metade direita e reflita com sinal trocado para a esquerda.
- Entre
e a curva vem de , decresce até com concavidade para baixo inicialmente, depois muda conforme os pontos de inflexão; entre e a curva sobe passando por com inclinação e atinge . Depois decai para quando . - Ligue os pontos com uma curva suave respeitando monotonicidade e concavidade nas partes indicadas.
Resposta
Domínio:
.\nFunção ímpar (simetria em relação à origem).\nAssíntota horizontal:
quando
.\nIntercepto:
.\nCrescente em
; decrescente em
e
.\nMáximo global em
com
.\nMínimo global em
com
.\nPontos de inflexão em
com valores
,
,
.\nConcavidade: côncava para baixo em
e côncava para cima em
.