Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado é simples: esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}.
O que o problema pede: desenhar (ou saber como desenhar) o gráfico no plano (x,y). Informações dadas (diretamente da definição da função):
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}.
  • Não há outras informações visuais fornecidas; tudo será obtido por análise algébrica e qualitativa da função.

Passo 2

Determinar o domínio e continuidade (passo básico antes de desenhar).
  • Denominador é 1+x^{2}. Como 1+x^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}, não há zeros do denominador.
  • Logo, o domínio é \mathbb{R} (todos os números reais) e a função é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Comportamento para grandes valores de |x| — assíntotas horizontais.
  • Para x\to\pm\infty a ordem do numerador é x e do denominador é x^{2}, então
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1+x^{2}}=0.
  • Portanto existe uma assíntota horizontal y=0. Como a função cruza o eixo x (veremos), essa assíntota é o eixo x ao qual a curva se aproxima quando |x| cresce.

Passo 4

Simetria da função (ajuda muito a esboçar).
  • Calcular f(-x):
f(-x)=\frac{-x}{1+(-x)^{2}}=\frac{-x}{1+x^{2}}=-\frac{x}{1+x^{2}}=-f(x).
  • Conclusão: f é função ímpar. O gráfico é centrado na origem e tem simetria de rotação de 180^\circ em torno da origem. Assim, basta estudar a metade direita e refletir para a esquerda com sinal invertido.

Passo 5

Interceptos com os eixos.
  • Intercepto com eixo y: f(0)=\dfrac{0}{1+0}=0. Então passa por (0,0).
  • Intercepto com eixo x: resolver f(x)=0 x=0 (única solução). Logo o único ponto de interseção é a origem.

Passo 6

Comportamento local perto da origem (linha tangente).
  • Expandindo para pequenas x: \dfrac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+\cdots, então
f(x)=x(1-x^{2}+\cdots)=x-x^{3}+\cdots.
  • Portanto, perto de x=0 a função se comporta como y\approx x. A tangente em 0 tem inclinação 1.

Passo 7

Derivada, pontos críticos e monotonicidade — passo a passo com regra do quociente.
  • Aplicando a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aqui u(x)=x e v(x)=1+x^{2}.
  • Calcular derivadas: u'(x)=1, v'(x)=2x.
  • Logo
f'(x)=\frac{1\cdot(1+x^{2})-x\cdot(2x)}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{1+x^{2}-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Zeros de f': resolver 1-x^{2}=0 x=\pm 1. Esses são os pontos críticos.
  • Sinal de f':
    • Se |x|<1 então 1-x^{2}>0 e f'(x)>0 → função crescente em (-1,1).
    • Se |x|>1 então 1-x^{2}<0 e f'(x)<0 → função decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).

Passo 8

Valores nos pontos críticos e classificação (máximo/minimo).
  • Calcular f(1) e f(-1):
f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2},\qquad f(-1)=-\frac{1}{2}.
  • Pela monotonicidade encontrada: em x=-1 a função muda de decrescente para crescente → x=-1 é mínimo local (e vale -\tfrac{1}{2}).
  • Em x=1 a função muda de crescente para decrescente → x=1 é máximo local (e vale \tfrac{1}{2}).
  • Comparando com os limites no infinito ( 0), esses extremos são também extremos globais: o maior valor de f é \tfrac{1}{2} em x=1 e o menor é -\tfrac{1}{2} em x=-1.

Passo 9

Segunda derivada e concavidade (explicando o procedimento).
  • Derivar f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}. Usar novamente quociente ou fatorizar para facilitar. Fazendo as contas:
f''(x)=-\frac{2x(3-x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}.
(Desenvolvimento curto: diferenciando o numerador e o denominador e simplificando dá essa expressão.)
  • Pontos de inflexão: zeros de f'' quando x=0 ou x=\pm\sqrt{3}.
  • Sinal de f'' (denominador positivo sempre):
    • Para x<-\sqrt{3}: escolhe x=-2 e obtém f''<0 → concavidade para baixo.
    • Para -\sqrt{3}<x<0: escolhe x=-1 e obtém f''>0 → concavidade para cima.
    • Para 0<x<\sqrt{3}: escolhe x=1 e obtém f''<0 → concavidade para baixo.
    • Para x>\sqrt{3}: escolhe x=2 e obtém f''>0 → concavidade para cima.
  • Portanto:
    • Concava para baixo em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}).
    • Concava para cima em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty).

Passo 10

Valores nos pontos de inflexão.
  • Calcular f(\pm\sqrt{3}):
f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{1+3}=\frac{\sqrt{3}}{4},\qquad f(-\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{4}.
  • Também f(0)=0. Esses três pontos são onde a curvatura muda de sinal (inflection points).

Passo 11

Resumo das características importantes (o que marcar no esboço).
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Simetria: função ímpar (simetria em relação à origem).
  • Assíntota horizontal: y=0 quando x\to\pm\infty.
  • Intercepto: (0,0).
  • Crescimento/decrescimento:
    • Crescente em (-1,1).
    • Decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • Extremos:
    • Mínimo global/local em x=-1 com f(-1)=-\tfrac{1}{2}.
    • Máximo global/local em x=1 com f(1)=\tfrac{1}{2}.
  • Concavidade:
    • Inflexões em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3} com valores -\tfrac{\sqrt{3}}{4},0,\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
    • Concavidade trocada conforme o passo anterior.
  • Comportamento em origem: tangente com inclinação 1 (reta y=x é aproximação local).

Passo 12

Como esboçar, passo a passo prático que pode ser feito na prova sem calculadora:
  1. Desenhe os eixos e marque o eixo x como assíntota horizontal aproximada y=0.
  2. Marque os pontos chave:
    • (-1,-\tfrac{1}{2}), (0,0), (1,\tfrac{1}{2}).
    • (-\sqrt{3},-\tfrac{\sqrt{3}}{4}) e (\sqrt{3},\tfrac{\sqrt{3}}{4}) (aprox. \pm1{,}732,\pm0{,}433).
  3. Pelo fato de ser ímpar, desenhe a metade direita e reflita com sinal trocado para a esquerda.
  4. Entre -\infty e -1 a curva vem de y\to0^{-}, decresce até (-1,-\tfrac{1}{2}) com concavidade para baixo inicialmente, depois muda conforme os pontos de inflexão; entre -1 e 1 a curva sobe passando por (0,0) com inclinação 1 e atinge (1,\tfrac{1}{2}). Depois decai para y\to0^{+} quando x\to\infty.
  5. Ligue os pontos com uma curva suave respeitando monotonicidade e concavidade nas partes indicadas.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.\nFunção ímpar (simetria em relação à origem).\nAssíntota horizontal: y=0 quando x\to\pm\infty.\nIntercepto: (0,0).\nCrescente em (-1,1); decrescente em (-\infty,-1) e (1,\infty).\nMáximo global em x=1 com f(1)=\tfrac{1}{2}.\nMínimo global em x=-1 com f(-1)=-\tfrac{1}{2}.\nPontos de inflexão em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3} com valores f(-\sqrt{3})=-\tfrac{\sqrt{3}}{4}, f(0)=0, f(\sqrt{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.\nConcavidade: côncava para baixo em (-\infty,-\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3}) e côncava para cima em (-\sqrt{3},0)\cup(\sqrt{3},\infty).

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