Em cada caso, construa a matriz A=\left(a_{i j}\right) pedida
A é quadrada de ordem 4 dada por
a_{i j}= \begin{cases}2 i, & \text { se } i<j \\\ i-j, & \text { se } i=j \\\\ 2 j, & \text { se } i>j\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para construir a matriz quadrada A=(a_{ij})\) de ordem \(4\) cujos elementos são dados pela regra em partes \[a_{i j}= \begin{cases}2 i, & \text{se } i<j,\\[4pt] i-j, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2 j, & \text{se } i>j.\end{cases}
Lista das informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A matriz é de ordem 4\], isto é, \(i e j variam em \{1,2,3,4\}.
  • Para cada par (i,j) há três possibilidades: i<j, i=j ou i>j, e cada caso dá uma fórmula diferente para a_{ij}.
    A tarefa é aplicar essa regra para todos os pares (i,j) com i,j\in\{1,2,3,4\} e montar a matriz A.]

Passo 2

Vamos entender com calma o que significa cada parte da regra (explicação didática das variáveis e dos casos).
  • As variáveis i e j são os índices de linha e coluna, respectivamente. Ou seja, i indica em que linha estamos, j em que coluna estamos.
  • Caso 1: se i<j (posição acima da diagonal principal), então usamos a fórmula a_{ij}=2i. Aqui multiplicamos o índice da linha por 2.
  • Caso 2: se i=j (posição na diagonal principal), então a_{ii}=i-i=0. Ou seja, todos os elementos da diagonal principal serão 0.
  • Caso 3: se i>j (posição abaixo da diagonal principal), então usamos a fórmula a_{ij}=2j. Aqui multiplicamos o índice da coluna por 2.
    Exemplo rápido para fixar: para (i,j)=(2,3) temos i<j, então a_{23}=2\cdot 2=4. Para (i,j)=(3,1) temos i>j, então a_{31}=2\cdot 1=2.

Passo 3

Calcular os elementos da diagonal ( i=j). Aplicando a_{ii}=i-i para i=1,2,3,4:
a_{11}=1-1=0,\qquad a_{22}=2-2=0,\qquad a_{33}=3-3=0,\qquad a_{44}=4-4=0.
Conclusão: todos os elementos da diagonal principal são 0.

Passo 4

Calcular os elementos acima da diagonal ( i<j), organizando por linha:
  • Para i=1 e j=2,3,4: a_{1j}=2\cdot 1=2. Assim a_{12}=2,\; a_{13}=2,\; a_{14}=2.
  • Para i=2 e j=3,4: a_{2j}=2\cdot 2=4. Assim a_{23}=4,\; a_{24}=4.
  • Para i=3 e j=4: a_{34}=2\cdot 3=6.
    (Para i=4 não há j>4 porque a ordem é 4.)

Passo 5

Calcular os elementos abaixo da diagonal ( i>j), organizando por linha:
  • Para i=2 e j=1: a_{21}=2\cdot 1=2.
  • Para i=3 e j=1,2: a_{31}=2\cdot 1=2,\; a_{32}=2\cdot 2=4.
  • Para i=4 e j=1,2,3: a_{41}=2\cdot 1=2,\; a_{42}=2\cdot 2=4,\; a_{43}=2\cdot 3=6.

Passo 6

Resumo dos elementos calculados (por entrada): já temos
  • Diagonal: a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{44}=0.
  • Acima da diagonal: a_{12}=2,\; a_{13}=2,\; a_{14}=2,\; a_{23}=4,\; a_{24}=4,\; a_{34}=6.
  • Abaixo da diagonal: a_{21}=2,\; a_{31}=2,\; a_{32}=4,\; a_{41}=2,\; a_{42}=4,\; a_{43}=6.
    Observação didática: note que a_{ij}=a_{ji} aqui — a matriz resultante é simétrica — porque, se i<j, temos a_{ij}=2i e a_{ji}=2i (pois para a_{ji} o caso é i>j com troca de papéis), e assim por diante. Isso é um efeito direto da forma simétrica da regra fornecida.

Passo 7

Agora que todos os elementos foram calculados e verificados, está pronta a matriz A. Na seção de resposta abaixo eu apresento a matriz final montada a partir dos elementos que calculamos.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 4 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 0 & 6\\[4pt] 2 & 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}]

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