Obtenha a transposta das seguintes matrizes
A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & 5 \\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: obter a transposta da matriz A. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & 5 \\[4pt]0 & 0 & 0\end{array}\right].
Informações relevantes: a matriz A tem duas linhas e três colunas; os elementos da primeira linha são 3,-2,5 e a segunda linha é toda zeros.]

Passo 2

Definição útil (explicada como se eu estivesse ao seu lado): a transposta de uma matriz é uma nova matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de índices, se A tem entradas A_{ij} (onde i indica a linha e j a coluna), então a transposta A^{T} tem entradas dadas por
(A^{T})_{ij}=A_{ji}.
Aqui i e j são inteiros positivos que variam conforme as dimensões da matriz: i percorre as linhas e j as colunas.

Passo 3

Aplicando isso à nossa matriz: A é de tamanho 2\times 3 (duas linhas, três colunas). Portanto a transposta A^{T} terá tamanho 3\times 2 (três linhas, duas colunas). Na prática: cada linha de A vira uma coluna de A^{T}, ou cada coluna de A vira uma linha de A^{T}.

Passo 4

Vamos identificar os elementos de A com índices, para facilitar a aplicação da fórmula:
A_{11}=3,\quad A_{12}=-2,\quad A_{13}=5,
A_{21}=0,\quad A_{22}=0,\quad A_{23}=0.

Passo 5

Agora aplicamos (A^{T})_{ij}=A_{ji} para cada posição da transposta (vou calcular todas as 6 entradas, devagarinho):
(A^{T})_{11}=A_{11}=3,
(A^{T})_{12}=A_{21}=0,
(A^{T})_{21}=A_{12}=-2,
(A^{T})_{22}=A_{22}=0,
(A^{T})_{31}=A_{13}=5,
(A^{T})_{32}=A_{23}=0.
Interpretação prática: a primeira coluna de A era \begin{pmatrix}3\\\ 0\end{pmatrix} e virou a primeira linha de A^{T} (ou, visto ao contrário, a primeira linha de A virou a primeira coluna de A^{T}). Mesmo raciocínio para as demais colunas.

Passo 6

Reunindo as entradas obtidas, escrevemos a matriz transposta A^{T} (três linhas e duas colunas):
A^{T}=\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\[4pt]-2 & 0 \\[4pt]5 & 0\end{array}\right].
Dica rápida para a prova: copie a matriz A e simplesmente coloque as linhas como colunas (ou faça a troca (i,j)\mapsto(j,i) mentalmente). Isso evita erro de índice.]

Resposta

A^{T}=\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\[4pt]-2 & 0 \\[4pt]5 & 0\end{array}\right]]

Exercícios relacionados