Em cada caso, dados f e g \in K[x], encontre os polinômios r, q tais f=q g+r onde ou r=0 ou \partial r<\partial g.
f=x^{5}-x^{3}+3 x-5, g=x^{2}+7 e K=\mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede que, para os polinômios f e g em K[x] com K=\mathbb{Q}, se encontrem polinômios q e r tais que
f=qg+r
onde ou r=0 ou \partial r<\partial g. (Aqui interpreto \partial como o grau do polinômio, ou seja \partial p=\deg(p).)
As informações dadas são:
f=x^{5}-x^{3}+3x-5, \qquad g=x^{2}+7, \qquad K=\mathbb{Q}.
As perguntas: encontrar q e r com f=qg+r e \deg(r)<\deg(g).

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (divisão de polinômios, passo a passo). A divisão de polinômios funciona como a divisão de inteiros: escolhe-se o termo principal de f e divide-se pelo termo principal de g para obter o primeiro termo de q; multiplica-se esse termo por g e subtrai-se de f; repete-se o processo com o resto até que o grau do resto seja menor que o grau de g.
Mais formalmente: se f tem termo líder a_n x^n e g tem termo líder b_m x^m com m\le n, o primeiro termo do quociente é \dfrac{a_n}{b_m}x^{\,n-m}. Como K=\mathbb{Q}, a divisão dos coeficientes \dfrac{a_n}{b_m} fica em \mathbb{Q}. Repetimos até que o resto tenha grau menor que m.

Passo 3

Organizo f com todos os termos (incluindo coeficientes zero) para evitar confusão:
f=x^{5}+0x^{4}-x^{3}+0x^{2}+3x-5.
O termo líder de f é x^{5} e o termo líder de g é x^{2}. Dividindo os líderes:
\frac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}.
Esse é o primeiro termo de q. Multiplico g por x^{3}:
x^{3}\cdot g = x^{3}(x^{2}+7)=x^{5}+7x^{3}.
Subtraio esse produto de f para obter o novo resto:
f - x^{3}g = \bigl(x^{5}+0x^{4}-x^{3}+0x^{2}+3x-5\bigr) - \bigl(x^{5}+7x^{3}\bigr).
Fazendo a subtração termo a termo obtemos
0x^{4} + (-1-7)x^{3} + 0x^{2} + 3x -5 = -8x^{3} + 0x^{2} + 3x -5.

Passo 4

Agora o resto atual é -8x^{3}+0x^{2}+3x-5. O termo líder é -8x^{3}. Dividindo pelo termo líder de g ( x^{2}):
\frac{-8x^{3}}{x^{2}} = -8x.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplico g por -8x:
-8x\cdot g = -8x(x^{2}+7) = -8x^{3} -56x.
Subtraio esse produto do resto atual:
(-8x^{3}+0x^{2}+3x-5) - (-8x^{3}-56x).
Cancelam-se os -8x^{3} e o que resta é
0x^{2} + (3 - (-56))x -5 = 59x -5.

Passo 5

O novo resto é 59x-5. O grau desse resto é \deg(59x-5)=1, que é menor que \deg(g)=2. Portanto a divisão termina aqui. O quociente acumulado é
q(x)=x^{3}-8x,
e o resto é
r(x)=59x-5.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calculo qg+r e confiro que dá f.
(qg+r)=(x^{3}-8x)(x^{2}+7)+(59x-5).
Expando:
x^{3}\cdot x^{2}+x^{3}\cdot 7 + (-8x)\cdot x^{2} + (-8x)\cdot 7 +59x -5
= x^{5}+7x^{3}-8x^{3}-56x+59x-5
= x^{5}+(-1)x^{3}+(3)x-5
= x^{5}-x^{3}+3x-5,
que é exatamente f. A divisão está correta.

Resposta

q(x)=x^{3}-8x
r(x)=59x-5

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