Em cada caso, dados
e
, encontre os polinômios
tais
onde ou
ou
.
e
Passo 1
O enunciado pede que, para os polinômios
e
em
com
, se encontrem polinômios
e
tais que
onde ou
ou
. (Aqui interpreto
como o grau do polinômio, ou seja
.)
As informações dadas são:
As perguntas: encontrar
e
com
e
.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (divisão de polinômios, passo a passo). A divisão de polinômios funciona como a divisão de inteiros: escolhe-se o termo principal de
e divide-se pelo termo principal de
para obter o primeiro termo de
; multiplica-se esse termo por
e subtrai-se de
; repete-se o processo com o resto até que o grau do resto seja menor que o grau de
.
Mais formalmente: se
tem termo líder
e
tem termo líder
com
, o primeiro termo do quociente é
. Como
, a divisão dos coeficientes
fica em
. Repetimos até que o resto tenha grau menor que
.
Passo 3
Organizo
com todos os termos (incluindo coeficientes zero) para evitar confusão:
O termo líder de
é
e o termo líder de
é
. Dividindo os líderes:
Esse é o primeiro termo de
. Multiplico
por
:
Subtraio esse produto de
para obter o novo resto:
Fazendo a subtração termo a termo obtemos
Passo 4
Agora o resto atual é
. O termo líder é
. Dividindo pelo termo líder de
(
):
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplico
por
:
Subtraio esse produto do resto atual:
Cancelam-se os
e o que resta é
Passo 5
O novo resto é
. O grau desse resto é
, que é menor que
. Portanto a divisão termina aqui. O quociente acumulado é
e o resto é
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): calculo
e confiro que dá
.
Expando:
que é exatamente
. A divisão está correta.