Questão 21. Seja
tal que
. Mostre que
é irredutível sobre
se, e somente se,
pode ser escrito da forma
, onde
e
Passo 1
O enunciado dá um polinômio
com
. O que ele pede é mostrar a equivalência lógica:
Informações relevantes que temos do enunciado:
-
é um polinômio com coeficientes reais. -
significa que o grau de é (ou seja, é quadrático). - Deve provar-se uma bicondicional (duas direções:
e ).
Passo 2
Definição e ideia-chave que vamos usar (explicada devagar e com exemplo):
- Um polinômio em
é irredutível sobre se ele não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau positivo com coeficientes reais. - Para polinômios de grau
, a única forma de serem redutíveis sobre é admitirem uma raiz real: se tem uma raiz real então com linear e real, logo é redutível; e vice-versa, se é redutível então um dos fatores tem grau e fornece uma raiz real.
Portanto, para quadráticos:
Exemplo rápido:
não tem raiz real, logo é irredutível sobre
;
tem raízes
, logo é redutível.
Passo 3
Normalização (por que podemos assumir que o polinômio é monico):
Se com
, então
é unidade em
(tem inverso
). Multiplicar
por a constante
não altera se ele é irredutível ou não (multiplicar por unidade não cria nem elimina fatorizações não triviais). Assim podemos trabalhar com o polinômio monico
Se
onde
e
. Conclusão: é suficiente provar a afirmação para polinômios monicos de grau
; o caso geral segue porque irreducibilidade é invariante por multiplicação por constante não nula.
Passo 4
Completar o quadrado e relação com o discriminante (fórmulas e significado):
Para o polinômio monico fazemos completar o quadrado:
Para o polinômio monico
Reescrevendo no formato pedido, definimos
Então
Agora relacionamos
com o discriminante. O discriminante de
é
Observe que
Portanto o sinal de
é o mesmo do sinal de
(dividir por
não altera o sinal): mais precisamente
Passo 5
Direção (
): se
é irredutível então existe a escrita
com
.
- Como explicamos no Passo 2, um quadrático é irredutível sobre
se, e somente se, não tem raízes reais. - Para o monico
, a existência de raízes reais está determinada pelo discriminante : há raízes reais ; não há raízes reais . - Se
(ou equivalentemente ) é irredutível, então não tem raízes reais, logo . - Pelo Passo 4,
implica . E pelo mesmo passo com e esse . - Voltando ao
original, como , tem a forma pedida; como irreducibilidade é invariante por multiplicação por unidade, isto conclui a direção pedida: podemos escrever (o representante monico de) como com .
Passo 6
Direção (
): se
com
então
é irredutível sobre
.
- Suponha que
com . Então expandindo e comparando com obtemos o discriminante vezes ? Melhor usar a relação do Passo 4: para essa escrita temos . Como então . -
implica que não tem raízes reais (a fórmula quadrática produz raízes reais somente quando ). Portanto não se fatoriza em polinômios lineares reais; assim é irredutível sobre . - Se
for o polinômio original (monico ou seu equivalente monicizado), então é irredutível. Se o original não era monico, a condição dada no enunciado permite considerar o representante monico; multiplicar por constante não nula não altera a irreducibilidade.
Passo 7
Resumo do argumento (para memorizar e usar na prova):
- Para quadráticos, ser irredutível sobre
é equivalente a não ter raiz real. - Completar o quadrado transforma qualquer quadrático monico
em com . - Assim não ter raízes reais (
) equivale exatamente a obter na forma . - Multiplicação por constantes não nulas (para passar de
a um monico ) preserva irreducibilidade, então o argumento vale para qualquer quadrático real.