Questão 21. Seja f \in \mathbb{R}[x] tal que \partial f=2. Mostre que f é irredutível sobre \mathbb{R} se, e somente se, f pode ser escrito da forma f=(x-a)^{2}-b, onde a, b \in \mathbb{R} e b<0

Passo 1

O enunciado dá um polinômio f\in\mathbb{R}[x] com \partial f=2. O que ele pede é mostrar a equivalência lógica:
\text{\(f\) é irredutível sobre \(\mathbb{R}\)} \quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ pode ser escrito como } (x-a)^2-b \text{ com } a,b\in\mathbb{R},\ b<0.éí
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • f é um polinômio com coeficientes reais.
  • \partial f=2 significa que o grau de f é 2 (ou seja, f é quadrático).
  • Deve provar-se uma bicondicional (duas direções: \Rightarrow e \Leftarrow).

Passo 2

Definição e ideia-chave que vamos usar (explicada devagar e com exemplo):
  • Um polinômio em \mathbb{R}[x] é irredutível sobre \mathbb{R} se ele não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau positivo com coeficientes reais.
  • Para polinômios de grau 2, a única forma de serem redutíveis sobre \mathbb{R} é admitirem uma raiz real: se f tem uma raiz real r então f(x)=(x-r)g(x) com g linear e real, logo f é redutível; e vice-versa, se f é redutível então um dos fatores tem grau 1 e fornece uma raiz real.
    Portanto, para quadráticos:
\text{\(f\) é irredutível sobre \(\mathbb{R}\)} \iff f \text{ não tem raiz real}.éíã
Exemplo rápido: x^2+1 não tem raiz real, logo é irredutível sobre \mathbb{R}; x^2-1 tem raízes 1,-1, logo é redutível.

Passo 3

Normalização (por que podemos assumir que o polinômio é monico):
Se f(x)=a x^2+bx+c com a\neq 0, então a é unidade em \mathbb{R} (tem inverso 1/a). Multiplicar f por a constante 1/a não altera se ele é irredutível ou não (multiplicar por unidade não cria nem elimina fatorizações não triviais). Assim podemos trabalhar com o polinômio monico
g(x)=\frac{1}{a}f(x)=x^2+px+q,
onde p=b/a e q=c/a. Conclusão: é suficiente provar a afirmação para polinômios monicos de grau 2; o caso geral segue porque irreducibilidade é invariante por multiplicação por constante não nula.

Passo 4

Completar o quadrado e relação com o discriminante (fórmulas e significado):
Para o polinômio monico g(x)=x^2+px+q fazemos completar o quadrado:
g(x)=x^2+px+q=(x+\tfrac{p}{2})^2+\Big(q-\tfrac{p^2}{4}\Big).
Reescrevendo no formato pedido, definimos
a=-\tfrac{p}{2}\quad\text{e}\quad b=\tfrac{p^2}{4}-q.
Então
g(x)=(x-a)^2-b.
Agora relacionamos b com o discriminante. O discriminante de g é
\Delta = p^2-4q.
Observe que
b=\tfrac{p^2}{4}-q=\tfrac{\Delta}{4}.
Portanto o sinal de b é o mesmo do sinal de \Delta (dividir por 4>0 não altera o sinal): mais precisamente
b<0 \iff \Delta<0.

Passo 5

Direção ( \Rightarrow): se f é irredutível então existe a escrita (x-a)^2-b com b<0.
  • Como explicamos no Passo 2, um quadrático é irredutível sobre \mathbb{R} se, e somente se, não tem raízes reais.
  • Para o monico g(x)=x^2+px+q, a existência de raízes reais está determinada pelo discriminante \Delta=p^2-4q: há raízes reais \iff \Delta\ge 0; não há raízes reais \iff \Delta<0.
  • Se f (ou equivalentemente g) é irredutível, então g não tem raízes reais, logo \Delta<0.
  • Pelo Passo 4, \Delta<0 implica b=\tfrac{\Delta}{4}<0. E pelo mesmo passo g(x)=(x-a)^2-b com a=-\tfrac{p}{2} e esse b<0.
  • Voltando ao f original, como g=\frac{1}{a}f, g tem a forma pedida; como irreducibilidade é invariante por multiplicação por unidade, isto conclui a direção pedida: podemos escrever (o representante monico de) f como (x-a)^2-b com b<0.

Passo 6

Direção ( \Leftarrow): se f=(x-a)^2-b com b<0 então f é irredutível sobre \mathbb{R}.
  • Suponha que g(x)=(x-a)^2-b com b<0. Então expandindo e comparando com x^2+px+q obtemos o discriminante \Delta=4b vezes 4? Melhor usar a relação do Passo 4: para essa escrita temos b=\tfrac{\Delta}{4}. Como b<0 então \Delta<0.
  • \Delta<0 implica que g não tem raízes reais (a fórmula quadrática produz raízes reais somente quando \Delta\ge 0). Portanto g não se fatoriza em polinômios lineares reais; assim g é irredutível sobre \mathbb{R}.
  • Se f for o polinômio original (monico ou seu equivalente monicizado), então f é irredutível. Se o f original não era monico, a condição dada no enunciado permite considerar o representante monico; multiplicar por constante não nula não altera a irreducibilidade.

Passo 7

Resumo do argumento (para memorizar e usar na prova):
  • Para quadráticos, ser irredutível sobre \mathbb{R} é equivalente a não ter raiz real.
  • Completar o quadrado transforma qualquer quadrático monico x^2+px+q em (x-a)^2-b com b=\tfrac{p^2-4q}{4}=\tfrac{\Delta}{4}.
  • Assim não ter raízes reais ( \Delta<0) equivale exatamente a obter b<0 na forma (x-a)^2-b.
  • Multiplicação por constantes não nulas (para passar de f a um monico g) preserva irreducibilidade, então o argumento vale para qualquer quadrático real.

Resposta

f é irredutível sobre \mathbb{R} \Leftrightarrow f pode ser escrito como (x-a)^2-b com a,b\in\mathbb{R} e b<0.

Exercícios relacionados