Questão 33. Seja f \in \mathbb{R}[x]. Mostre que f é polinômio irredutível se, e somente se, \partial(f)=1 ou \partial(f)=2 e seu discriminante é menor que zero.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio f\in\mathbb{R}[x] e pergunta para mostrar uma equivalência: f é irreduzível (em \mathbb{R}[x]) se, e somente se, \partial(f)=1 ou \partial(f)=2 e o discriminante de f é menor que zero.
Informações e observações iniciais (peguei tudo do enunciado):
f é um polinômio com coeficientes reais, f\in\mathbb{R}[x].
A notação \partial(f) representa o grau de f (vou usar isso ao longo da resolução).
O discriminante a que se refere é o discriminante usual do polinômio quadrático: se g(x)=ax^2+bx+c com a\neq0, então o discriminante é \Delta=b^2-4ac.
O que se pede: provar a equivalênciaf\text{ é irreduzível em }\mathbb{R}[x]\quad\Longleftrightarrow\quad \big(\partial(f)=1\big)\\ \text{ou}\\ \big(\partial(f)=2\\ \text{e}\\ \Delta<0\big).
Passo 2
Relembrando conceitos e ferramentas que vamos usar (aula rápida):
Irredutível em \mathbb{R}[x] significa que f não pode ser escrito como produto f=gh com g,h\in\mathbb{R}[x] ambos de grau \ge1.
Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio não-constante em \mathbb{C}[x] fatora como produto de fatores lineares sobre \mathbb{C}. Ou seja, se f\in\mathbb{R}[x] e \partial(f)=n\ge1, então existem a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C} e c\in\mathbb{C}\setminus\{0\} tais quef(x)=c\prod_{j=1}^n (x-a_j).
Uma propriedade importante de polinômios com coeficientes reais: se f\in\mathbb{R}[x] e a\in\mathbb{C} é raiz de f, então o conjugado \overline{a} também é raiz. Isso decorre de que, para x\in\mathbb{C},0=f(a)\quad\Rightarrow\quad 0=\overline{f(a)}=f(\overline{a}),porque os coeficientes são reais (conjugar cada coeficiente não altera).
Produto de um par de raízes conjugadas não-reais dá uma quadrática real irreduzível: se a\notin\mathbb{R} então(x-a)(x-\overline{a})=x^2-2\operatorname{Re}(a)\,x+|a|^2que é um polinômio em \mathbb{R}[x] cuja discriminante é\Delta = \big(-2\operatorname{Re}(a)\big)^2 - 4|a|^2 = 4\big(\operatorname{Re}(a)^2-|a|^2\big) = -4\big(\operatorname{Im}(a)\big)^2<0.Logo essa quadrática não tem raízes reais e não se decompõe em fatores lineares reais.
Passo 3
Mostrando a direção “\Rightarrow” (necessidade): se f é irreduzível em \mathbb{R}[x], então \partial(f)=1 ou \partial(f)=2 com discriminante negativo.
Explicação passo a passo:
Suponha f irreduzível e \partial(f)=n.
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, em \mathbb{C}[x] temos uma fatoração em lineares:f(x)=c\prod_{j=1}^n (x-a_j),\qquad a_j\in\mathbb{C}.
Como os coeficientes são reais, raízes não-reais aparecem em pares conjugados. Assim podemos reagrupar os fatores lineares em \mathbb{R}[x] da formaf(x)=c\cdot \big(\text{produtos de fatores lineares }(x-r)\text{ para raízes reais }r\big)\cdot \big(\text{produtos de quadráticas }(x-a)(x-\overline a)\big).íáOu seja, f se escreve como produto de polinômios reais de grau 1 (quando há raízes reais) e de quadráticos reais (quando há pares conjugados).
Se existir alguma raiz real r, então (x-r) é um fator de grau 1 em \mathbb{R}[x]; assim f teria uma fatoração não-trivial em \mathbb{R}[x] (por exemplo (x-r)\cdot (f/(x-r))), contradizendo a irreducibilidade, salvo se \partial(f)=1. Portanto, se f é irreduzível e \partial(f)>1, então não há raízes reais.
Se não há raízes reais, então todas as raízes são não-reais e vêm em pares conjugados. Cada par conjuga dá um fator quadrático real de grau 2. Assim f se escreve como produto de um número de quadráticas reais; se n\ge3 então há pelo menos duas dessas quadráticas ou uma quadrática e um linear, o que fornece uma fatoração não-trivial em \mathbb{R}[x]. Portanto, para que f não seja fatorável (isto é, permaneça irreduzível), o único caso possível sem raízes reais é que n=2, isto é, \partial(f)=2.
Conclusão desta direção: se f é irreduzível então ou \partial(f)=1 (caso tenha uma raiz real e seja linear) ou \partial(f)=2 e, como vimos, nessa situação as duas raízes são conjugadas complexas não-reais e o discriminante da quadrática é negativo (pois \Delta=-4(\operatorname{Im}(a))^2<0). Logo a necessidade está provada.
(Empurrão didático: a ideia intuitiva é que em \mathbb{R}[x] qualquer raiz real dá um fator linear, e qualquer par de raízes complexas conjugadas dá um fator quadrático; para impedir qualquer fatoração não-trivial só restam fatores de grau 1 ou 2, e grau maior que 2 sempre permite agrupar fatores para obter uma fatoração real não-trivial.)
Passo 4
Mostrando a direção “\Leftarrow” (suficiência): se \partial(f)=1 ou \partial(f)=2 e o discriminante é menor que zero, então f é irreduzível em \mathbb{R}[x].
Explicação passo a passo:
Caso \partial(f)=1: polinômio linear f(x)=ax+b com a\neq0. Um polinômio de grau 1 não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau \ge1 em \mathbb{R}[x], pois os graus se somariam e dariam no mínimo 2. Logo todo polinômio de grau 1 é irreduzível. Isso é direto e óbvio.
Caso \partial(f)=2 e o discriminante \Delta<0: escreva f(x)=ax^2+bx+c com a\neq0. Se f fosse redutível em \mathbb{R}[x], então existiriam g,h\in\mathbb{R}[x] de grau pelo menos 1 tais que f=gh. As únicas possibilidades de degreação para graus inteiros somando 2 são (1,1) (dois lineares) ou trivialmente (2,0) etc. Logo, fatorar significaria escrever f como produto de dois polinômios lineares reais; isso é equivalente a ter duas raízes reais (as raízes seriam os zeros desses lineares). Mas \Delta<0 significa que não existem raízes reais; portanto f não se decompõe em lineares reais. Conclui-se que f é irreduzível em \mathbb{R}[x].
Assim em ambos os subcasos temos irreducibilidade.
Passo 5
Comentários finais, exemplos e intuição para a hora da prova:
Resumo da ideia-chave: sobre \mathbb{R} toda raiz real dá fator linear real e cada par de raízes complexas conjugadas dá um fator quadrático real com discriminante negativo. Portanto polinômios em \mathbb{R}[x] se decompõem em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, e os únicos irredutíveis possíveis são exatamente os lineares e essas quadráticas sem raízes reais.
Exemplo rápido para fixar: x^4+1 não tem raízes reais, mas fatora em \mathbb{R}[x] como produto de duas quadráticas irreduzíveisx^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1),cada uma com discriminante negativo. Portanto x^4+1 não é irreduzível em \mathbb{R}[x] (apesar de não ter raízes reais) — ela se decompõe em quadráticas irreduzíveis.
Outra observação útil na prova: a parte essencial que justifica tudo foi usar o Teorema Fundamental da Álgebra e o fato de conjugação preservar raízes quando os coeficientes são reais.
Resposta
f é irreduzível em \mathbb{R}[x] se, e somente se, \partial(f)=1 ou \partial(f)=2 e o discriminante de f é menor que zero.