Informações relevantes dadas (que aparecem nas entradas das matrizes):
Na primeira matriz, a terceira linha tem entradas 2a^{2}-a-1,\;2b^{2}-b-1,\;2c^{2}-c-1.
Na segunda matriz, a terceira linha tem entradas 2x-a,\;2y-b,\;2z-c.
O que será feito: usar operações elementares sobre linhas (adição de múltiplos de uma linha a outra) para obter uma linha nula ou mostrar dependência linear de linhas, o que implica determinante zero.]
Passo 2
Lembrete sobre operações elementares que vou usar (explicando didaticamente):
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante — não usaremos essa aqui.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k — também não necessário.
Substituir uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j) NÃO altera o valor do determinante. Esta operação é a ferramenta principal aqui porque permite criar combinações lineares de linhas sem alterar o determinante.
Se, por uma sequência de operações que não mudam o determinante, obtivermos uma linha nula, então o determinante vale 0, pois uma matriz com uma linha zero tem determinante zero (determinante é volume orientado; com uma dimensão colapsada vira zero).
Vou aplicar essas ideias diretamente nas duas matrizes.
Passo 3
Começando pela primeira matriz, chamo as linhas de L_1,L_2,L_3 onde
Repare que cada entrada acima é exatamente a correspondente em L_3, isto é,
2L_1 - L_2 = L_3.
Passo 4
Da igualdade L_3 = 2L_1 - L_2 segue dependência linear entre as linhas. Vou executar operações elementares que deixam o determinante inalterado e converter L_3 numa linha nula:
Primeiro: L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1. Isso não altera o determinante.
Depois dessa operação L_3 fica L_3 - 2L_1 = -L_2.
Em seguida: L_3 \leftarrow L_3 + L_2. Também não altera o determinante.
Combinando as duas operações tenho L_3 transformada em -L_2 + L_2 = (0,0,0), uma linha nula. Como o determinante não mudou nessas operações e agora a matriz tem uma linha nula, o determinante é zero. Portanto
Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova): sempre que uma linha (ou coluna) for combinação linear das outras, as linhas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Usar operações do tipo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j é uma forma prática de transformar essa combinação em uma linha nula, sem alterar o determinante, demonstrando diretamente que ele vale zero.