Use operações elementares para mostrar que det \left[\begin{array}{ccc}a^{2} & b^{2} & c^{2} \\\\ 1+a & 1+b & 1+c \\\\ 2 a^{2}-a-1 & 2 b^{2}-b-1 & 2 c^{2}-c-1\end{array}\right]=0 e que \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}a+2 & b+2 & c+2 \\\ x+1 & y+1 & z+1 \\\\ 2 x-a & 2 y-b & 2 z-c\end{array}\right]=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • Mostrar que \det\begin{pmatrix}a^{2} & b^{2} & c^{2} \\[4pt] 1+a & 1+b & 1+c \\[4pt] 2 a^{2}-a-1 & 2 b^{2}-b-1 & 2 c^{2}-c-1\end{pmatrix}=0.
  • Mostrar que \det\begin{pmatrix}a+2 & b+2 & c+2 \\[4pt] x+1 & y+1 & z+1 \\[4pt] 2 x-a & 2 y-b & 2 z-c\end{pmatrix}=0.
Informações relevantes dadas (que aparecem nas entradas das matrizes):
  • Na primeira matriz, a terceira linha tem entradas 2a^{2}-a-1,\;2b^{2}-b-1,\;2c^{2}-c-1.
  • Na segunda matriz, a terceira linha tem entradas 2x-a,\;2y-b,\;2z-c.
O que será feito: usar operações elementares sobre linhas (adição de múltiplos de uma linha a outra) para obter uma linha nula ou mostrar dependência linear de linhas, o que implica determinante zero.]

Passo 2

Lembrete sobre operações elementares que vou usar (explicando didaticamente):
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante — não usaremos essa aqui.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k — também não necessário.
  • Substituir uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j) NÃO altera o valor do determinante. Esta operação é a ferramenta principal aqui porque permite criar combinações lineares de linhas sem alterar o determinante.
  • Se, por uma sequência de operações que não mudam o determinante, obtivermos uma linha nula, então o determinante vale 0, pois uma matriz com uma linha zero tem determinante zero (determinante é volume orientado; com uma dimensão colapsada vira zero).
Vou aplicar essas ideias diretamente nas duas matrizes.

Passo 3

Começando pela primeira matriz, chamo as linhas de L_1,L_2,L_3 onde
L_1=(a^{2},\;b^{2},\;c^{2}), \qquad L_2=(1+a,\;1+b,\;1+c), \qquad L_3=(2a^{2}-a-1,\;2b^{2}-b-1,\;2c^{2}-c-1).
Vou verificar se existe uma combinação simples entre L_1,L_2,L_3. Calculo a combinação 2L_1 - L_2 componente a componente:
2L_1 - L_2 = \bigl(2a^{2}-(1+a),\;2b^{2}-(1+b),\;2c^{2}-(1+c)\bigr).
Repare que cada entrada acima é exatamente a correspondente em L_3, isto é,
2L_1 - L_2 = L_3.

Passo 4

Da igualdade L_3 = 2L_1 - L_2 segue dependência linear entre as linhas. Vou executar operações elementares que deixam o determinante inalterado e converter L_3 numa linha nula:
  • Primeiro: L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1. Isso não altera o determinante.
    Depois dessa operação L_3 fica L_3 - 2L_1 = -L_2.
  • Em seguida: L_3 \leftarrow L_3 + L_2. Também não altera o determinante.
Combinando as duas operações tenho L_3 transformada em -L_2 + L_2 = (0,0,0), uma linha nula. Como o determinante não mudou nessas operações e agora a matriz tem uma linha nula, o determinante é zero. Portanto
\det\begin{pmatrix}a^{2} & b^{2} & c^{2} \\[4pt] 1+a & 1+b & 1+c \\[4pt] 2 a^{2}-a-1 & 2 b^{2}-b-1 & 2 c^{2}-c-1\end{pmatrix}=0.]

Passo 5

Agora a segunda matriz. Chamo as linhas de M_1,M_2,M_3 onde
M_1=(a+2,\;b+2,\;c+2), \qquad M_2=(x+1,\;y+1,\;z+1), \qquad M_3=(2x-a,\;2y-b,\;2z-c).
Vou verificar uma combinação simples entre essas linhas: calculo 2M_2 - M_1 componente a componente:
2M_2 - M_1 = \bigl(2(x+1)-(a+2),\;2(y+1)-(b+2),\;2(z+1)-(c+2)\bigr).
Simplificando cada componente dá
2(x+1)-(a+2)=2x+2-a-2=2x-a,
e análogas para as outras colunas. Assim
2M_2 - M_1 = (2x-a,\;2y-b,\;2z-c) = M_3.

Passo 6

Como em M_3 = 2M_2 - M_1 temos dependência linear das linhas, faço operações elementares para gerar uma linha nula sem alterar o determinante:
  • M_3 \leftarrow M_3 - 2M_2 (não altera o determinante). Após isso M_3 fica -M_1.
  • M_3 \leftarrow M_3 + M_1 (também não altera o determinante). Agora M_3 é a linha nula.
Portanto a matriz tem uma linha nula e seu determinante é zero. Assim
\det\begin{pmatrix}a+2 & b+2 & c+2 \\[4pt] x+1 & y+1 & z+1 \\[4pt] 2 x-a & 2 y-b & 2 z-c\end{pmatrix}=0.]

Passo 7

Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova): sempre que uma linha (ou coluna) for combinação linear das outras, as linhas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Usar operações do tipo L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j é uma forma prática de transformar essa combinação em uma linha nula, sem alterar o determinante, demonstrando diretamente que ele vale zero.

Resposta

\;0
\;0

Exercícios relacionados