Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens, \vec{d}, \vec{v} e \vec{w} representam vetores.
Se \vec{v} e \vec{w} são ortogonais, então 8 \vec{v} e -4 \vec{w} também são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Dado que \vec{v} e \vec{w} são ortogonais (isto é, alguma relação entre \vec{v} e \vec{w} é verdadeira).
  • Pergunta-se se então 8\vec{v} e -4\vec{w} também são ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de vetores ortogonais e uma propriedade básica do produto escalar:
  • Definição: dois vetores \vec{a} e \vec{b} são ortogonais se e somente se o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
  • Propriedade linear do produto escalar (que vamos usar): para quaisquer vetores \vec{u},\vec{z} e quaisquer escalares \alpha,\beta,
(\alpha \vec{u})\cdot(\beta \vec{z})=\alpha\beta(\vec{u}\cdot\vec{z}).
Vou mostrar rapidamente por que essa propriedade é verdadeira (para te deixar seguro sobre o uso dela).

Passo 3

Prova da propriedade por meio de coordenadas (modo concreto que dá para fazer na prova sem mistério):
  • Escreva \vec{v}=(v_1,\dots,v_n) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_n) em \mathbb{R}^n.
  • Então por definição do produto escalar
\vec{v}\cdot\vec{w}=\sum_{i=1}^{n} v_i w_i.
  • Agora calcule o produto escalar entre os escalares multiplicados:
(8\vec{v})\cdot(-4\vec{w})=\sum_{i=1}^{n} (8v_i)(-4w_i).
  • Como multiplicação é comutativa e associativa, cada termo (8v_i)(-4w_i) = -32(v_i w_i). Logo
(8\vec{v})\cdot(-4\vec{w}) = -32\sum_{i=1}^{n} v_i w_i = -32(\vec{v}\cdot\vec{w}).
Isto mostra explicitamente a propriedade de fatoração dos escalares no produto escalar.

Passo 4

Agora use a hipótese de ortogonalidade:
  • Pela hipótese, \vec{v} e \vec{w} são ortogonais, portanto \vec{v}\cdot\vec{w}=0.
  • Substituindo na identidade obtida:
(8\vec{v})\cdot(-4\vec{w}) = -32(\vec{v}\cdot\vec{w}) = -32\cdot 0 = 0.
  • Como o produto escalar entre 8\vec{v} e -4\vec{w} é zero, concluímos que 8\vec{v} e -4\vec{w} são ortogonais.

Passo 5

Um exemplo numérico rápido só para fixar a intuição:
  • Tome \vec{v}=(1,0,0) e \vec{w}=(0,1,0). Esses são ortogonais porque \vec{v}\cdot\vec{w}=0.
  • Então 8\vec{v}=(8,0,0) e -4\vec{w}=(0,-4,0). O produto escalar é 8\cdot 0 + 0\cdot(-4) + 0\cdot 0 = 0. Funciona direitinho.

Resposta

Verdadeiro.

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