Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens,
e
representam vetores.
Se
e
são ortogonais, então
e
também são ortogonais.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Dado que
e são ortogonais (isto é, alguma relação entre e é verdadeira). - Pergunta-se se então
e também são ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de vetores ortogonais e uma propriedade básica do produto escalar:
- Definição: dois vetores
e são ortogonais se e somente se o produto escalar . - Propriedade linear do produto escalar (que vamos usar): para quaisquer vetores
e quaisquer escalares ,
Vou mostrar rapidamente por que essa propriedade é verdadeira (para te deixar seguro sobre o uso dela).
Passo 3
Prova da propriedade por meio de coordenadas (modo concreto que dá para fazer na prova sem mistério):
- Escreva
e em . - Então por definição do produto escalar
- Agora calcule o produto escalar entre os escalares multiplicados:
- Como multiplicação é comutativa e associativa, cada termo
. Logo
Isto mostra explicitamente a propriedade de fatoração dos escalares no produto escalar.
Passo 4
Agora use a hipótese de ortogonalidade:
- Pela hipótese,
e são ortogonais, portanto . - Substituindo na identidade obtida:
- Como o produto escalar entre
e é zero, concluímos que e são ortogonais.
Passo 5
Um exemplo numérico rápido só para fixar a intuição:
- Tome
e . Esses são ortogonais porque . - Então
e . O produto escalar é . Funciona direitinho.
Resposta
Verdadeiro.