Nos exercícios 32-40, assume-se que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal de V^{3}.
Dados \vec{a}=(0,1,1), \vec{b}=(0,1,0) e \vec{c}=(1,1,0), determine o vetor unitário \vec{u} tal que \vec{u} é ortogonal a \vec{c}, \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{u}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) e \vec{u} \cdot \vec{b}>0. Determine os vetores \vec{v} de norma \sqrt{8}, sabendo que o ângulo entre \vec{v} e \vec{a} mede \frac{\pi^{2}}{3} radianos e que os vetores \vec{a}, \vec{c}, \vec{v} são linearmente dependentes.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Vetores dados (coordenadas na base ortonormal de V^{3}):
\vec{a}=(0,1,1).
\vec{b}=(0,1,0).
\vec{c}=(1,1,0).
Primeiro pedido: determinar o vetor unitário \vec{u} tal que:
\vec{u} é ortogonal a \vec{c} (ou seja \vec{u}\cdot\vec{c}=0);
Encontrar os correspondentes \vec{u} e aplicar a condição \vec{u}\cdot\vec{b}>0.
Para y=0: então x=-y=0 e z=1-y=1. Assim \vec{u}=(0,0,1).
Verificação: \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{2}\vec{a} com \vec{u}\cdot\vec{a}=1 dá (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) (ok). Mas \vec{u}\cdot\vec{b}=(0,0,1)\cdot(0,1,0)=0, que não é positivo. Então descartamos esta solução por violar \vec{u}\cdot\vec{b}>0.
Para y=\dfrac{2}{3}: então x=-\dfrac{2}{3} e z=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}. Assim
Norma: (\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9})=1, ok é unitário.
Projeção sobre \vec{a}: \vec{u}\cdot\vec{a}=y+z=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=1\Rightarrow proj (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), ok.
Produto com \vec{b}: \vec{u}\cdot\vec{b}= (0,1,0)\cdot\vec{u}= \tfrac{2}{3}>0, ok.
Portanto a solução procurada para \vec{u} é \left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Passo 6
Agora a segunda parte: resolver para \vec{v} com \|\vec{v}\|=\sqrt{8}, ângulo com \vec{a} igual a \theta=\dfrac{\pi^{2}}{3} (logo \cos\theta=\cos\!\big(\tfrac{\pi^{2}}{3}\big)), e \vec{v}\in\operatorname{span}\{\vec{a},\vec{c}\}.
Se \vec{v} está no span de \vec{a} e \vec{c}, escrevemos
\vec{v}=\alpha\,\vec{a}+\beta\,\vec{c}
para escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Vou usar essa expressão para impor as duas condições restantes.
Portanto \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}\,|\sin\theta|=4\sqrt{3}\,|\sin\theta|. Como \sin\theta pode ser positivo ou negativo, mantemos o sinal conforme aparece na solução geral.
Estas duas \vec{v} satisfazem \|\vec{v}\|=\sqrt{8}, têm o ângulo pedido com \vec{a} e estão no plano gerado por \vec{a} e \vec{c}.
Passo 12
Observações finais e verificação rápida (didática e prática):
A existência das duas soluções vem do fato geométrico: no plano \operatorname{span}\{\vec{a},\vec{c}\} a interseção com a esfera de raio \sqrt{8} são duas pontas opostas de uma elipse; a condição do ângulo com \vec{a} (fixando o produto escalar) corta essa elipse em até duas soluções simétricas.
Ao calcular o discriminante apareceu 48\sin^{2}\theta, o que garante soluções reais para qualquer \theta (já que \sin^{2}\theta\ge0). Aqui \theta=\dfrac{\pi^{2}}{3} é apenas o valor do ângulo usado na fórmula C=\cos\theta,S=\sin\theta.