Nos exercícios 32-40, assume-se que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal de V^{3}.
Dados \vec{a}=(0,1,1), \vec{b}=(0,1,0) e \vec{c}=(1,1,0), determine o vetor unitário \vec{u} tal que \vec{u} é ortogonal a \vec{c}, \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{u}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) e \vec{u} \cdot \vec{b}>0. Determine os vetores \vec{v} de norma \sqrt{8}, sabendo que o ângulo entre \vec{v} e \vec{a} mede \frac{\pi^{2}}{3} radianos e que os vetores \vec{a}, \vec{c}, \vec{v} são linearmente dependentes.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Vetores dados (coordenadas na base ortonormal de V^{3}):
    • \vec{a}=(0,1,1).
    • \vec{b}=(0,1,0).
    • \vec{c}=(1,1,0).
  • Primeiro pedido: determinar o vetor unitário \vec{u} tal que:
    1. \vec{u} é ortogonal a \vec{c} (ou seja \vec{u}\cdot\vec{c}=0);
    2. \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right);
    3. \vec{u}\cdot\vec{b}>0.
  • Segundo pedido: determinar os vetores \vec{v} tais que:
    1. \|\vec{v}\|=\sqrt{8};
    2. o ângulo entre \vec{v} e \vec{a} mede \dfrac{\pi^{2}}{3} radianos (vou chamar esse ângulo de \theta, então \theta=\dfrac{\pi^{2}}{3});
    3. \vec{a},\vec{c},\vec{v} são linearmente dependentes (isto implica \vec{v}\in\operatorname{span}\{\vec{a},\vec{c}\}).

Passo 2

Entendendo a primeira condição sobre projeção: a projeção de \vec{u} sobre \vec{a} é dada por
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\;\vec{a}.
Aqui \vec{u}\cdot\vec{a} é o produto escalar e \vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^{2}. Vou calcular \vec{a}\cdot\vec{a}:
\vec{a}\cdot\vec{a}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2.
Se escrever \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=k\vec{a}, então k=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{2}. O enunciado dá
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
Como \vec{a}=(0,1,1), qualquer múltiplo k\vec{a} tem a forma (0,k,k). Comparando:
(0,k,k)=\left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad k=\tfrac{1}{2}.
Logo
\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{2}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{a}=1.

Passo 3

Agora traduzimos as condições para coordenadas. Seja \vec{u}=(x,y,z). As condições tornam-se:
  • Ortogonal a \vec{c}=(1,1,0):
\vec{u}\cdot\vec{c}=x+y+0\cdot z= x+y =0 \quad\Rightarrow\quad x=-y.
  • Produto escalar com \vec{a}=(0,1,1):
\vec{u}\cdot\vec{a}=0\cdot x +1\cdot y +1\cdot z = y+z =1 \quad\Rightarrow\quad z=1-y.
  • Unidade: \|\vec{u}\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Vou substituir x=-y e z=1-y na condição de norma.

Passo 4

Substituição para achar y:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(-y)^{2}+y^{2}+(1-y)^{2}=y^{2}+y^{2}+1-2y+y^{2}=3y^{2}-2y+1.
Impor que isso vale 1:
3y^{2}-2y+1=1 \quad\Rightarrow\quad 3y^{2}-2y=0 \quad\Rightarrow\quad y(3y-2)=0.
As soluções são y=0 ou y=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Encontrar os correspondentes \vec{u} e aplicar a condição \vec{u}\cdot\vec{b}>0.
  • Para y=0: então x=-y=0 e z=1-y=1. Assim \vec{u}=(0,0,1).
    • Verificação: \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{u}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{2}\vec{a} com \vec{u}\cdot\vec{a}=1 (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) (ok). Mas \vec{u}\cdot\vec{b}=(0,0,1)\cdot(0,1,0)=0, que não é positivo. Então descartamos esta solução por violar \vec{u}\cdot\vec{b}>0.
  • Para y=\dfrac{2}{3}: então x=-\dfrac{2}{3} e z=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}. Assim
\vec{u}=\left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Verificações rápidas:
  • Norma: (\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9})=1, ok é unitário.
  • Projeção sobre \vec{a}: \vec{u}\cdot\vec{a}=y+z=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=1\Rightarrow proj (0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), ok.
  • Produto com \vec{b}: \vec{u}\cdot\vec{b}= (0,1,0)\cdot\vec{u}= \tfrac{2}{3}>0, ok.
Portanto a solução procurada para \vec{u} é \left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).

Passo 6

Agora a segunda parte: resolver para \vec{v} com \|\vec{v}\|=\sqrt{8}, ângulo com \vec{a} igual a \theta=\dfrac{\pi^{2}}{3} (logo \cos\theta=\cos\!\big(\tfrac{\pi^{2}}{3}\big)), e \vec{v}\in\operatorname{span}\{\vec{a},\vec{c}\}.
Se \vec{v} está no span de \vec{a} e \vec{c}, escrevemos
\vec{v}=\alpha\,\vec{a}+\beta\,\vec{c}
para escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Vou usar essa expressão para impor as duas condições restantes.

Passo 7

Calcular fórmulas úteis:
  • Produtos escalares entre \vec{a} e \vec{c}:
\vec{a}\cdot\vec{a}=2,\qquad \vec{c}\cdot\vec{c}=2,\qquad \vec{a}\cdot\vec{c}=1.
  • Produto escalar \vec{v}\cdot\vec{a} em termos de \alpha,\beta:
\vec{v}\cdot\vec{a}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{a})+\beta(\vec{c}\cdot\vec{a})=2\alpha+\beta.
  • Pela definição do cosseno do ângulo entre vetores:
\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{a}\|}.
Aqui \|\vec{a}\|=\sqrt{2} e \|\vec{v}\|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. Portanto
\vec{v}\cdot\vec{a}=\|\vec{v}\|\,\|\vec{a}\|\,\cos\theta=(2\sqrt{2})(\sqrt{2})\cos\theta=4\cos\theta.
Logo obtemos a equação linear
2\alpha+\beta=4\cos\theta. \tag{1}

Passo 8

A segunda equação vem da norma de \vec{v}. Calcular \|\vec{v}\|^{2}:
\|\vec{v}\|^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}=\alpha^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a})+2\alpha\beta(\vec{a}\cdot\vec{c})+\beta^{2}(\vec{c}\cdot\vec{c}) =2\alpha^{2}+2\alpha\beta+2\beta^{2}.
Como \|\vec{v}\|^{2}=8, dividindo por 2 temos
\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}=4. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2).

Passo 9

Resolução algébrica do sistema. Da equação (1) isolamos \beta:
\beta=4\cos\theta-2\alpha.
Substituir em (2):
\alpha^{2}+\alpha(4\cos\theta-2\alpha)+(4\cos\theta-2\alpha)^{2}=4.
Desenvolvendo e simplificando (fazer passo a passo):
\alpha^{2}+4\alpha\cos\theta-2\alpha^{2}+16\cos^{2}\theta-16\alpha\cos\theta+4\alpha^{2}=4.
Juntando termos em \alpha^{2} e \alpha:
( \alpha^{2}-2\alpha^{2}+4\alpha^{2} ) + (4\alpha\cos\theta-16\alpha\cos\theta) +16\cos^{2}\theta =4,
3\alpha^{2}-12\alpha\cos\theta+16\cos^{2}\theta-4=0.
Esta é uma quadrática em \alpha. Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = (-12\cos\theta)^{2}-4\cdot 3\cdot(16\cos^{2}\theta-4) =144\cos^{2}\theta -12(16\cos^{2}\theta-4).
\Delta=144\cos^{2}\theta-192\cos^{2}\theta+48=48(1-\cos^{2}\theta)=48\sin^{2}\theta.
Portanto \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}\,|\sin\theta|=4\sqrt{3}\,|\sin\theta|. Como \sin\theta pode ser positivo ou negativo, mantemos o sinal conforme aparece na solução geral.
As raízes são:
\alpha=\frac{12\cos\theta\pm 4\sqrt{3}\sin\theta}{6}=\;2\cos\theta\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta.

Passo 10

Encontrar \beta a partir de \beta=4\cos\theta-2\alpha. Substituindo cada solução de \alpha:
  • Para \alpha=2\cos\theta+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta:
\beta=4\cos\theta-2\left(2\cos\theta+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta\right) = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin\theta.
  • Para \alpha=2\cos\theta-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta:
\beta=4\cos\theta-2\left(2\cos\theta-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\theta\right) = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin\theta.
Portanto há duas soluções (\alpha,\beta) simétricas em relação ao sinal de \sin\theta.

Passo 11

Agora escrevemos \vec{v}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{c} em coordenadas explícitas. Recordando \vec{a}=(0,1,1) e \vec{c}=(1,1,0), obtemos
\vec{v}=(\beta,\;\alpha+\beta,\;\alpha).
Substituindo as expressões de \alpha e \beta em função de \theta:
Definindo C=\cos\theta e S=\sin\theta com \theta=\dfrac{\pi^{2}}{3}, as duas soluções são
  1. Para o sinal + (usar \alpha=2C+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S e \beta=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}S):
\vec{v}=\left(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}S,\;2C-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S,\;2C+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S\right).
  1. Para o sinal - (usar \alpha=2C-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S e \beta=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}S):
\vec{v}=\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}S,\;2C+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S,\;2C-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}S\right).
Estas duas \vec{v} satisfazem \|\vec{v}\|=\sqrt{8}, têm o ângulo pedido com \vec{a} e estão no plano gerado por \vec{a} e \vec{c}.

Passo 12

Observações finais e verificação rápida (didática e prática):
  • A existência das duas soluções vem do fato geométrico: no plano \operatorname{span}\{\vec{a},\vec{c}\} a interseção com a esfera de raio \sqrt{8} são duas pontas opostas de uma elipse; a condição do ângulo com \vec{a} (fixando o produto escalar) corta essa elipse em até duas soluções simétricas.
  • Ao calcular o discriminante apareceu 48\sin^{2}\theta, o que garante soluções reais para qualquer \theta (já que \sin^{2}\theta\ge0). Aqui \theta=\dfrac{\pi^{2}}{3} é apenas o valor do ângulo usado na fórmula C=\cos\theta,S=\sin\theta.

Resposta

\vec{u}=\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)
\vec{v}=\left(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right),\;2\cos\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right)-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right),\;2\cos\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right)+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right)\right)
\vec{v}=\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\sin\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right),\;2\cos\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right)+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right),\;2\cos\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right)-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\!\left(\tfrac{\pi^{2}}{3}\right)\right)

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