Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens, \vec{d}, \vec{v} e \vec{w} representam vetores.
Se \operatorname{proj}_{\vec{d}} \vec{v}=\overrightarrow{0}, então \vec{v} é ortogonal a \vec{d}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dado um vetor \vec{d} e um vetor \vec{v}.
  • Sabe-se que \operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Pergunta: concluir se isso implica que \vec{v} é ortogonal a \vec{d} (ou seja, se \vec{v}\cdot\vec{d}=0), demonstrando a afirmação ou dando um contraexemplo.

Passo 2

Vou lembrar duas definições essenciais (explicadas de forma bem direta):
  • Definição da projeção de \vec{v} sobre \vec{d} quando \vec{d}\neq\overrightarrow{0}:
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\,\vec{d}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{d} é o produto interno (ou produto escalar) entre \vec{v} e \vec{d}. O denominador \vec{d}\cdot\vec{d} é o quadrado da norma de \vec{d}, e é diferente de zero se \vec{d}\neq\overrightarrow{0}.
  • Definição de ortogonalidade: dizemos que \vec{v} é ortogonal a \vec{d} quando
\vec{v}\cdot\vec{d}=0.
Isto é exatamente a condição que queremos obter.

Passo 3

Trabalhando no caso em que \vec{d}\neq\overrightarrow{0} (caso normalmente assumido quando se fala em projeção):
  • Parto da hipótese dada:
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Substituo a fórmula da projeção:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\,\vec{d}=\overrightarrow{0}.

Passo 4

Agora uso uma propriedade simples de vetores: se \alpha é um escalar e \vec{d} é um vetor não-nulo, então \alpha\vec{d}=\overrightarrow{0} implica \alpha=0. Aplicando isso ao caso acima:
  • Como \vec{d}\neq\overrightarrow{0}, necessariamente
\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}=0.
  • Multiplicando ambos os lados por \vec{d}\cdot\vec{d} (que é não-nulo), obtemos
\vec{v}\cdot\vec{d}=0.
  • Isso é exatamente a condição de ortogonalidade entre \vec{v} e \vec{d}. Portanto, quando \vec{d}\neq\overrightarrow{0}, a afirmação é verdade e a demonstração está pronta.

Passo 5

Comentário sobre a situação \vec{d}=\overrightarrow{0}:
  • A fórmula usual da projeção usa \vec{d}\cdot\vec{d} no denominador, então para \vec{d}=\overrightarrow{0} a projeção não é definida por essa fórmula (divisão por zero). Alguns autores estendem a definição e tomam \operatorname{proj}_{\overrightarrow{0}}\vec{v}=\overrightarrow{0} para todo \vec{v}; nesse caso a hipótese \operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\overrightarrow{0} ocorreria para qualquer \vec{v}, e como \vec{v}\cdot\overrightarrow{0}=0 temos igualmente que \vec{v} é ortogonal a \vec{d}. Portanto não há contraexemplo razoável: ou a projeção não está definida (não se aplica a hipótese), ou, se for definida como zero, a ortogonalidade também vale.
  • Resumindo: não existe contraexemplo; a implicação é verdadeira nas interpretações usuais.

Resposta

Verdadeiro.

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