Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens,
e
representam vetores.
Se
, então
é ortogonal a
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dado um vetor
e um vetor . - Sabe-se que
. - Pergunta: concluir se isso implica que
é ortogonal a (ou seja, se ), demonstrando a afirmação ou dando um contraexemplo.
Passo 2
Vou lembrar duas definições essenciais (explicadas de forma bem direta):
- Definição da projeção de
sobre quando :
Aqui
é o produto interno (ou produto escalar) entre
e
. O denominador
é o quadrado da norma de
, e é diferente de zero se
.
- Definição de ortogonalidade: dizemos que
é ortogonal a quando
Isto é exatamente a condição que queremos obter.
Passo 3
Trabalhando no caso em que
(caso normalmente assumido quando se fala em projeção):
- Parto da hipótese dada:
- Substituo a fórmula da projeção:
Passo 4
Agora uso uma propriedade simples de vetores: se
é um escalar e
é um vetor não-nulo, então
implica
. Aplicando isso ao caso acima:
- Como
, necessariamente
- Multiplicando ambos os lados por
(que é não-nulo), obtemos
- Isso é exatamente a condição de ortogonalidade entre
e . Portanto, quando , a afirmação é verdade e a demonstração está pronta.
Passo 5
Comentário sobre a situação
:
- A fórmula usual da projeção usa
no denominador, então para a projeção não é definida por essa fórmula (divisão por zero). Alguns autores estendem a definição e tomam para todo ; nesse caso a hipótese ocorreria para qualquer , e como temos igualmente que é ortogonal a . Portanto não há contraexemplo razoável: ou a projeção não está definida (não se aplica a hipótese), ou, se for definida como zero, a ortogonalidade também vale. - Resumindo: não existe contraexemplo; a implicação é verdadeira nas interpretações usuais.
Resposta
Verdadeiro.