Nos exercícios 32-40, assume-se que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal de V^{3}.
Determine a projeção ortogonal do vetor \vec{w} sobre o vetor \vec{v} nos casos:
\vec{w}=(1,3,-1), \vec{v}=(-3,2,0)

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores (em coordenadas numa base ortonormal de V^{3}):
\vec{w}=(1,3,-1),\qquad \vec{v}=(-3,2,0).
O que se pede é: determinar a projeção ortogonal de \vec{w} sobre \vec{v}, ou seja, o vetor projeção de \vec{w} na direção de \vec{v}.

Passo 2

Antes de calcular, vamos aprender a fórmula que usamos e por quê (passo-a-passo, sem pular nada).
Definição útil: produto interno (produto escalar) entre dois vetores \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Esse número é importante porque mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
Agora, se quisermos a projeção ortogonal de \vec{w} sobre \vec{v}, uma forma conceitual é primeiro normalizar \vec{v} fazendo \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\lVert \vec{v}\rVert} (ou seja, \vec{u} é o vetor de mesma direção que \vec{v} mas com comprimento 1). A projeção de \vec{w} sobre \vec{v} é então
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=(\vec{w}\cdot\vec{u})\,\vec{u}.
Substituindo \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\lVert \vec{v}\rVert} obtém-se a forma prática (mais usada em provas):
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Aqui:
  • \vec{w}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{w} e \vec{v} (numerador);
  • \vec{v}\cdot\vec{v}=\lVert \vec{v}\rVert^{2} é o quadrado da norma de \vec{v} (denominador);
  • multiplicando o escalar \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} por \vec{v} obtemos o vetor projeção na direção de \vec{v}.
Explicação curta do porquê: queremos um múltiplo escalar de \vec{v} (pois a projeção fica sobre a reta gerada por \vec{v}), digamos \alpha\vec{v}. A condição de projeção ortogonal exige que \vec{w}-\alpha\vec{v} seja ortogonal a \vec{v}, ou seja (\vec{w}-\alpha\vec{v})\cdot\vec{v}=0. Desenvolvendo, \vec{w}\cdot\vec{v}-\alpha(\vec{v}\cdot\vec{v})=0, daí
\alpha=\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}},
o que nos dá a fórmula acima.

Passo 3

Vamos calcular o numerador: o produto escalar \vec{w}\cdot\vec{v}.
\vec{w}\cdot\vec{v}= (1)\cdot(-3) + (3)\cdot(2) + (-1)\cdot(0).
Calculando termo a termo:
(1)\cdot(-3) = -3,\qquad (3)\cdot(2)=6,\qquad (-1)\cdot(0)=0.
Somando:
\vec{w}\cdot\vec{v} = -3 + 6 + 0 = 3.

Passo 4

Agora o denominador: \vec{v}\cdot\vec{v}=\lVert \vec{v}\rVert^{2}.
\vec{v}\cdot\vec{v}=(-3)^{2} + (2)^{2} + (0)^{2}.
Calculando:
(-3)^{2}=9,\qquad (2)^{2}=4,\qquad (0)^{2}=0,
então
\vec{v}\cdot\vec{v}=9+4+0=13.

Passo 5

O coeficiente escalar \alpha que multiplica \vec{v} é
\alpha=\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\frac{3}{13}.

Passo 6

Finalmente, a projeção ortogonal é
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\alpha\,\vec{v}=\frac{3}{13}\,(-3,2,0).
Multiplicando componente a componente:
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\left(\frac{3}{13}\cdot(-3),\\ \frac{3}{13}\cdot 2,\\ \frac{3}{13}\cdot 0\right)=\left(-\frac{9}{13},\\ \frac{6}{13},\\\ 0\right).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): a diferença \vec{w}-\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w} deve ser ortogonal a \vec{v}. Calculemos:
\vec{w}-\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\left(1-(-\tfrac{9}{13}),\\\ 3-\tfrac{6}{13},\\\ -1-0\right)=\left(\tfrac{22}{13},\\ \tfrac{33}{13},\\\ -1\right).
O produto escalar com \vec{v} é
\left(\tfrac{22}{13},\tfrac{33}{13},-1\right)\cdot(-3,2,0)=\tfrac{22}{13}\cdot(-3)+\tfrac{33}{13}\cdot 2 + (-1)\cdot 0 = -\tfrac{66}{13}+\tfrac{66}{13}+0=0.
Como o produto escalar é 0, a verificação funciona: a diferença é ortogonal a \vec{v}, confirmando que o resultado está correto. Boa!

Resposta

\displaystyle\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\left(-\frac{9}{13},\\ \frac{6}{13},\\\ 0\right)

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