Nos exercícios 32-40, assume-se que as coordenadas de vetores estão expressas em relação a uma base ortonormal de
.
Determine a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
nos casos:
Determine a projeção ortogonal do vetor
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores (em coordenadas numa base ortonormal de
):
O que se pede é: determinar a projeção ortogonal de
sobre
, ou seja, o vetor projeção de
na direção de
.
Passo 2
Antes de calcular, vamos aprender a fórmula que usamos e por quê (passo-a-passo, sem pular nada).
Definição útil: produto interno (produto escalar) entre dois vetores
e
é
Esse número é importante porque mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
Agora, se quisermos a projeção ortogonal de
sobre
, uma forma conceitual é primeiro normalizar
fazendo
(ou seja,
é o vetor de mesma direção que
mas com comprimento
). A projeção de
sobre
é então
Substituindo
obtém-se a forma prática (mais usada em provas):
Aqui:
-
é o produto escalar entre e (numerador); -
é o quadrado da norma de (denominador); - multiplicando o escalar
por obtemos o vetor projeção na direção de .
Explicação curta do porquê: queremos um múltiplo escalar de
(pois a projeção fica sobre a reta gerada por
), digamos
. A condição de projeção ortogonal exige que
seja ortogonal a
, ou seja
. Desenvolvendo,
, daí
o que nos dá a fórmula acima.
Passo 3
Vamos calcular o numerador: o produto escalar
.
Calculando termo a termo:
Somando:
Passo 4
Agora o denominador:
.
Calculando:
então
Passo 5
O coeficiente escalar
que multiplica
é
Passo 6
Finalmente, a projeção ortogonal é
Multiplicando componente a componente:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculemos:
O produto escalar com
é
Como o produto escalar é
, a verificação funciona: a diferença é ortogonal a
, confirmando que o resultado está correto. Boa!