Dadas as bases E=\left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\}, F=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\} e G=\left\{\overrightarrow{g_{1}}, \overrightarrow{g_{2}}, \overrightarrow{g_{3}}\right\} de V^{3}, se valem
\left\{\begin{array} { l } { \vec { e _ { 1 } } = 2 \vec { f _ { 1 } } + \vec { f _ { 2 } } } \\\ { \vec { e _ { 2 } } = \vec { f _ { 1 } } - \vec { f _ { 2 } } } \\\ { \vec { e _ { 3 } } = \vec { f _ { 1 } } + \vec { f _ { 3 } } } \end{array} \quad \text { e } \quad \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{g_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}} \\\ \overrightarrow{g_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}} \\\ \overrightarrow{g_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{3}} \end{array}\right.\right.
determine todas as matrizes de mudança de base envolvendo essas bases.

Passo 1

O enunciado fornece duas coleções de relações lineares entre as bases; eu peguei essas relações do próprio enunciado:
  • Relações entre E\) e \(F\): \[\begin{cases} \vec{e_1}=2\vec{f_1}+\vec{f_2},\\[4pt] \vec{e_2}=\vec{f_1}-\vec{f_2},\\[4pt] \vec{e_3}=\vec{f_1}+\vec{f_3}. \end{cases}
  • Relações entre G\] e \[E:
\begin{cases} \vec{g_1}=\vec{e_1}-\vec{e_2},\\[4pt] \vec{g_2}=\vec{e_1}-\vec{e_3},\\[4pt] \vec{g_3}=\vec{e_1}+\vec{e_3}. \end{cases}
O que o exercício pede: determinar todas as matrizes de mudança de base envolvendo E,F,G\]. Ou seja, encontrar explicitamente as seis matrizes \[[I]_{F\leftarrow E},\quad [I]_{E\leftarrow F},\quad [I]_{G\leftarrow E},\quad [I]_{E\leftarrow G},\quad [I]_{G\leftarrow F},\quad [I]_{F\leftarrow G},\] onde, por convenção que vou usar, para quaisquer bases \(A,B temos
[x]_B = [I]_{B\leftarrow A}\,[x]_A,
ou seja, [I]_{B\leftarrow A} transforma coordenadas de A-coordenadas para B-coordenadas.]

Passo 2

Como se monta uma matriz de mudança de base (regra prática e importante): a matriz [I]_{B\leftarrow A} tem nas suas colunas as coordenadas, em relação à base B, dos vetores da base A. Em palavras: escrever cada \vec{a_i} (vetor da base A) como combinação linear dos vetores de B; os coeficientes formam a i-ésima coluna.
Aplicando isso às relações entre E e F: cada \vec{e_i} já está escrito em coordenadas da base F. Então as colunas de [I]_{F\leftarrow E} são os vetores coluna com esses coeficientes.
Escrevendo as colunas:
\vec{e_1}=2\vec{f_1}+1\vec{f_2}+0\vec{f_3}\longrightarrow \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}, \quad \vec{e_2}=1\vec{f_1}-1\vec{f_2}+0\vec{f_3}\longrightarrow \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{pmatrix}, \quad \vec{e_3}=1\vec{f_1}+0\vec{f_2}+1\vec{f_3}\longrightarrow \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Portanto, em notação matricial:
[I]_{F\leftarrow E}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora precisamos também de [I]_{E\leftarrow F}. Regra: [I]_{E\leftarrow F} = \big([I]_{F\leftarrow E}\big)^{-1}. Vou inverter a matriz anterior. Observação útil: a matriz tem bloco triangular do tipo
A=\begin{pmatrix}B & c\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},
com B=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix} e c=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}. A inversa é
A^{-1}=\begin{pmatrix}B^{-1} & -B^{-1}c\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calculemos B^{-1}. Para a matriz 2\times2
B=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix},\qquad \det(B)=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3.
Logo
B^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[2pt]1/3 & -2/3\end{pmatrix}.
Multiplicando B^{-1}c (com c=(1,0)^{T}) obtém-se a primeira coluna de B^{-1}, isto é (1/3,1/3)^{T}. Portanto -B^{-1}c = (-1/3,-1/3)^{T}.
Assim
[I]_{E\leftarrow F} = [I]_{F\leftarrow E}^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(Fica a dica: sempre que a matriz tem bloco inferior (0,0,1) a inversão fica muito mais simples.)]

Passo 3

Agora a relação entre G e E está dada diretamente em coordenadas de E:
\vec{g_1}=\vec{e_1}-\vec{e_2},\qquad \vec{g_2}=\vec{e_1}-\vec{e_3},\qquad \vec{g_3}=\vec{e_1}+\vec{e_3}.
Então as colunas de [I]_{E\leftarrow G} são as coordenadas dos \vec{g_i} em relação a E:
[I]_{E\leftarrow G}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},
pois por exemplo \vec{g_1}=1\cdot\vec{e_1}+(-1)\cdot\vec{e_2}+0\cdot\vec{e_3}.
Precisamos também de [I]_{G\leftarrow E}=\big([I]_{E\leftarrow G}\big)^{-1}. Vou inverter [I]_{E\leftarrow G} resolvendo três sistemas lineares (cada coluna da inversa é solução de M x = e_i). Chamar
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Resolvendo M x = e_1,\,e_2,\,e_3 obtém-se as colunas de M^{-1}. Executando os cálculos (determinante de M é 2, e as soluções dão frações com denom. 2), obtemos
[I]_{G\leftarrow E} = M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
(Se preferir, pode verificar multiplicando M\cdot M^{-1}=I.)]

Passo 4

Agora faltam as matrizes que ligam F e G diretamente. A maneira mais prática é usar composição: para transformar coordenadas de F em coordenadas de G passa-se por E. Em fórmulas:
[x]_E = [I]_{E\leftarrow F}\,[x]_F,\qquad [x]_G = [I]_{G\leftarrow E}\,[x]_E.
Compondo,
[x]_G = [I]_{G\leftarrow E}\,[I]_{E\leftarrow F}\,[x]_F,
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[I]_{G\leftarrow F} = [I]_{G\leftarrow E}\,[I]_{E\leftarrow F}.
Usando as matrizes já obtidas:
[I]_{E\leftarrow F}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad [I]_{G\leftarrow E}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação [I]_{G\leftarrow F} = [I]_{G\leftarrow E}\,[I]_{E\leftarrow F} (faça com calma no papel, multiplicando linhas por colunas) obtemos:
[I]_{G\leftarrow F}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{5}{6}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} \end{pmatrix}.
(Dica de verificação rápida: a entrada (1,1) foi calculada como linha 1 de [I]_{G\leftarrow E} vezes coluna 1 de [I]_{E\leftarrow F}: 0\cdot\frac{1}{3}+(-1)\cdot\frac{1}{3}+0\cdot 0 = -\tfrac{1}{3}, etc.)]

Passo 5

A última matriz é [I]_{F\leftarrow G}. Novamente usamos composição, agora passando G\to E\to F:
[x]_F = [I]_{F\leftarrow E}\,[x]_E,\qquad [x]_E = [I]_{E\leftarrow G}\,[x]_G,
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[I]_{F\leftarrow G} = [I]_{F\leftarrow E}\,[I]_{E\leftarrow G}.
Já temos [I]_{F\leftarrow E} e [I]_{E\leftarrow G}, então multiplicamos:
[I]_{F\leftarrow E}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad [I]_{E\leftarrow G}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação [I]_{F\leftarrow G}=[I]_{F\leftarrow E}\,[I]_{E\leftarrow G} obtém-se:
[I]_{F\leftarrow G}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\[6pt] 2 & 1 & 1\\[6pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: coluna 1 de [I]_{F\leftarrow G} corresponde às coordenadas de \vec{g_1} em F. Como \vec{g_1}=\vec{e_1}-\vec{e_2}, e cada \vec{e_i} está em F por relações do início, pode-se checar a coluna 1 diretamente substituindo — a composição dá o mesmo resultado.]

Resposta

[ I]_{F\leftarrow E}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[ I]_{E\leftarrow F}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[ I]_{E\leftarrow G}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
[ I]_{G\leftarrow E}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
[ I]_{G\leftarrow F}= \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{5}{6}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} \end{pmatrix}
[ I]_{F\leftarrow G}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\[6pt] 2 & 1 & 1\\[6pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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