Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens,
e
representam vetores.
Se
é paralelo a
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre se a afirmação é verdadeira ou se se dê um contraexemplo: “Se
é paralelo a
, então
.”
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
-
e são vetores (não foi explicitado, mas a definição usual de projeção exige ). - A afirmação relaciona paralelismo entre
e com a projeção de sobre .
O objetivo aqui é mostrar se a igualdade vale sempre (provar) ou apresentar um exemplo em que falha (contraexemplo). A prova precisa usar a definição de projeção e a definição de vetores paralelos.
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Dot product (produto escalar): para dois vetores
e , o produto escalar é um número que, em componentes, é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Propriedade importante: , onde é o comprimento (norma) de . - Definição de vetores paralelos:
é paralelo a significa que existe um escalar tal que
Aqui
pode ser positivo, negativo ou zero.
- Definição da projeção ortogonal de
sobre (assumindo ):
Nessa fórmula, o numerador
é o produto escalar entre
e
; o denominador
é
; o quociente escala o vetor
para obter a componente de
ao longo de
.
Passo 3
Começamos a prova substituindo a expressão de
em termos de
. Suponha que
é paralelo a
, então existe
tal que
Agora aplicamos a fórmula da projeção:
Substituindo
no numerador:
Aqui usei a linearidade do produto escalar:
.
Passo 4
Continuando, coloque esse resultado na expressão da projeção:
Como
(porque estamos assumindo
), simplifica-se o fator:
Mas
pela definição de
. Portanto
Passo 5
Interpretação geométrica e comentários adicionais:
- Geometricamente, se
está totalmente ao longo da direção de (mesma reta), então a componente de ao longo de é exatamente (independente do sinal de ): a projeção recupera todo o vetor . - Caso especial: se
, a projeção não está definida (a fórmula divide por ). Assim, a afirmação só faz sentido e é verdadeira sob a hipótese implícita . - Um exemplo numérico rápido para fixar: tome
e . Então
confirmando a igualdade.
Resposta
Verdadeira para
: se
é paralelo a
então
.