Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens, \vec{d}, \vec{v} e \vec{w} representam vetores.
Se \vec{v} é paralelo a \vec{d}, então \operatorname{proj}_{\vec{d}} \vec{v}=\vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre se a afirmação é verdadeira ou se se dê um contraexemplo: “Se \vec{v} é paralelo a \vec{d}, então \operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\vec{v}.”
Informações dadas e observações importantes extraídas do enunciado:
  • \vec{v} e \vec{d} são vetores (não foi explicitado, mas a definição usual de projeção exige \vec{d}\neq\vec{0}).
  • A afirmação relaciona paralelismo entre \vec{v} e \vec{d} com a projeção de \vec{v} sobre \vec{d}.
    O objetivo aqui é mostrar se a igualdade vale sempre (provar) ou apresentar um exemplo em que falha (contraexemplo). A prova precisa usar a definição de projeção e a definição de vetores paralelos.

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Dot product (produto escalar): para dois vetores \vec{a} e \vec{b}, o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} é um número que, em componentes, é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Propriedade importante: \vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^{2}, onde \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a}.
  • Definição de vetores paralelos: \vec{v} é paralelo a \vec{d} significa que existe um escalar k tal que
\vec{v}=k\vec{d}.
Aqui k pode ser positivo, negativo ou zero.
  • Definição da projeção ortogonal de \vec{v} sobre \vec{d} (assumindo \vec{d}\neq\vec{0}):
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\,\vec{d}.
Nessa fórmula, o numerador \vec{v}\cdot\vec{d} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{d}; o denominador \vec{d}\cdot\vec{d} é \|\vec{d}\|^{2}; o quociente escala o vetor \vec{d} para obter a componente de \vec{v} ao longo de \vec{d}.

Passo 3

Começamos a prova substituindo a expressão de \vec{v} em termos de \vec{d}. Suponha que \vec{v} é paralelo a \vec{d}, então existe k tal que
\vec{v}=k\vec{d}.
Agora aplicamos a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\,\vec{d}.
Substituindo \vec{v}=k\vec{d} no numerador:
\vec{v}\cdot\vec{d}=(k\vec{d})\cdot\vec{d}=k\,(\vec{d}\cdot\vec{d}).
Aqui usei a linearidade do produto escalar: (\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 4

Continuando, coloque esse resultado na expressão da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v} =\frac{k\,(\vec{d}\cdot\vec{d})}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\,\vec{d}.
Como \vec{d}\cdot\vec{d}\neq 0 (porque estamos assumindo \vec{d}\neq\vec{0}), simplifica-se o fator:
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=k\,\vec{d}.
Mas k\vec{d}=\vec{v} pela definição de k. Portanto
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\vec{v}.

Passo 5

Interpretação geométrica e comentários adicionais:
  • Geometricamente, se \vec{v} está totalmente ao longo da direção de \vec{d} (mesma reta), então a componente de \vec{v} ao longo de \vec{d} é exatamente \vec{v} (independente do sinal de k): a projeção recupera todo o vetor \vec{v}.
  • Caso especial: se \vec{d}=\vec{0}, a projeção \operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v} não está definida (a fórmula divide por \vec{d}\cdot\vec{d}=0). Assim, a afirmação só faz sentido e é verdadeira sob a hipótese implícita \vec{d}\neq\vec{0}.
  • Um exemplo numérico rápido para fixar: tome \vec{d}=(1,2) e \vec{v}=3\vec{d}=(3,6). Então
\vec{v}\cdot\vec{d}=(3,6)\cdot(1,2)=3\cdot1+6\cdot2=3+12=15,
\vec{d}\cdot\vec{d}=(1,2)\cdot(1,2)=1+4=5,
\operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\frac{15}{5}(1,2)=3(1,2)=(3,6)=\vec{v},
confirmando a igualdade.

Resposta

Verdadeira para \vec{d}\neq\vec{0}: se \vec{v} é paralelo a \vec{d} então \operatorname{proj}_{\vec{d}}\vec{v}=\vec{v}.

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