Em cada caso determine a área sob o gráfico da função no intervalo indicado:
f(x)=\cos (3 x), x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right];

Passo 1

O enunciado pede a “área sob o gráfico” de
f(x)=\cos(3x)
no intervalo \bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\bigr]. Para isso usamos o conceito de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo, lembrando que a antiderivada de \cos(kx) é \tfrac{1}{k}\sin(kx).

Passo 2

Encontramos a antiderivada de f. Como
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{3}\sin(3x)\Bigr)=\cos(3x),
temos
\int \cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{3}\sin(3x) + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\pi/3}\cos(3x)\,dx = \left[\tfrac{1}{3}\sin(3x)\right]_{0}^{\pi/3} = \tfrac{1}{3}\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr) = \tfrac{1}{3}(0-0) = 0.

Resposta

A área líquida sob o gráfico de f(x)=\cos(3x) entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{3} é 0.

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