Avalie a integral definida:
\int_{1}^{3}\left(1+2 x-4 x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
\int_{1}^{3}\bigl(1 + 2x - 4x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro ache uma primitiva F(x) do integrando, depois aplique
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) de f(x)=1 + 2x -4x^{3}. Integramos termo a termo:
\int 1\,dx = x,\quad \int 2x\,dx = x^{2},\quad \int 4x^{3}\,dx = x^{4}.
Logo uma primitiva é
F(x) = x + x^{2} - x^{4}.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental, avaliamos em x=3 e x=1:
F(3) = 3 + 3^{2} - 3^{4} = 3 + 9 - 81 = -69,
F(1) = 1 + 1^{2} - 1^{4} = 1 + 1 - 1 = 1.
Portanto,
\int_{1}^{3}\bigl(1+2x-4x^{3}\bigr)\,dx = F(3) - F(1) = -69 - 1 = -70.

Resposta

-70

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