Em cada caso determine a área sob o gráfico da função no intervalo indicado:
f(x)=4 x+1, x \in[0,1];

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico da função f(x)=4x+1 no intervalo [0,1]. Isso equivale a calcular a integral definida
A = \int_{0}^{1} (4x+1)\,dx.

Passo 2

Para integrar f(x)=4x+1, encontramos uma primitiva F(x). Como
\int 4x\,dx = 2x^2 \quad\text{e}\quad \int 1\,dx = x,
temos
F(x) = 2x^2 + x.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de 0 a 1:
A = F(1) - F(0) = \bigl(2\cdot1^2 + 1\bigr) - \bigl(2\cdot0^2 + 0\bigr) = 2 + 1 = 3.

Resposta

A área sob o gráfico de f(x) em [0,1] é 3.

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