Avalie a integral definida:
\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}-x}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}-x}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo é integração de potências de x e uso do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos simplificar o integrando e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} e dividindo por x^{2}, o integrando fica
\frac{\sqrt{x}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} = x^{-3/2} - x^{-1}.

Passo 3

A integral de x^{-3/2}-x^{-1} é obtida aplicando a regra de potência e a integral de x^{-1}. Temos
\int (x^{-3/2}-x^{-1})\,dx = -2\,x^{-1/2} - \ln x + C.

Passo 4

Definindo a primitiva
F(x) = -2\,x^{-1/2} - \ln x,
avaliamos em x=4 e em x=1: F(4) = -2\cdot 4^{-1/2} - \ln 4 = -1 - \ln 4, F(1) = -2\cdot 1^{-1/2} - \ln 1 = -2 - 0 = -2.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}-x}{x^{2}}\,dx = F(4) - F(1) = (-1 - \ln 4) - (-2) = 1 - \ln 4.

Resposta

1 - \ln 4

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