Em cada caso, determine se o campo é conservativo e, em caso positivo obtenha a sua função potencial:
F(x, y)=(2 x y+1) i+(x^2 y+1) j;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o campo vetorial F(x,y)=(2xy+1),vec i+(x^2y+1),vec j. O que se pede é verificar se ele é conservativo e, caso positivo, encontrar sua função potencial. Vamos precisar usar o teste das derivadas parciais e lembrar que o domínio é R^2, que é simplesmente conexo.

Passo 2

Teoria aplicada: em R^2, um campo F=P,vec i+Q,vec j é conservativo se, e somente se, suas derivadas parciais cruzadas são iguais, isto é, se
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Cálculo das derivadas: para P(x,y)=2xy+1 temos
partial Ppartial y=2x,
e para Q(x,y)=x^2y+1 temos
partial Qpartial x=2xy

Passo 4

Conclusão: como 2xneq2xy para quase todo (x,y), não temos partial P/partial y=partial Q/partial x. Logo, o campo não é conservativo e não existe função potencial.

Resposta

O campo não é conservativo e, portanto, não existe função potencial.

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