Resolva o problema de valor iniciado dado: y^prime prime-4 y^prime-5 y=0; y(-1)=3, y^prime(-1)=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é e as condições são e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar os parâmetros específicos.

Passo 2

Primeiro, encontramos a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo r^2 - 4r - 5 = 0 , a característica é . No nosso caso, a equação é , então a equação característica fica:

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62 usando a fórmula de Bhaskara:
r1 = 102 = 5 e r2 = -22 = -1
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^5x + C2 e^-x
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial 3 = C1 e^5(-1) + C2 e^-(-1) Rightarrow 3 = C1 e^-5 + C2 e^1 :
3 = C1 e^-5 + C2 e
Ou seja:

Passo 6

Agora, derivamos a solução geral para encontrar y'(x) = 5C1 e^5x - C2 e^-x :
9 = 5C1 e^5(-1) - C2 e^-(-1) Rightarrow 9 = 5C1 e^-5 - C2 e^1
Aplicamos a segunda condição inicial 9 = 5C1 e^-5 - C2 e :
Ou seja:

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
3 = C1 e^-5 + C2 e 9 = 5C1 e^-5 - C2 e
Vamos somar as duas equações para eliminar 3 + 9 = C1 e^-5 + 5C1 e^-5 + C2 e - C2 e Rightarrow 12 = 6C1 e^-5 :
C1 = 126 e^-5 = 2 e^5
Resolvendo para :

Passo 8

Substituímos 3 = (2 e^5) e^-5 + C2 e Rightarrow 3 = 2 + C2 e na primeira equação para encontrar C2 e = 1 Rightarrow C2 = 1e :
Então:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 2 e^5 e^5x + 1e e^-x = 2 e^5x +5 + e^-x -1

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