Resolva o problema de valor iniciado dado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é
e as condições são
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar os parâmetros específicos.
Passo 2
Primeiro, encontramos a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a característica é
. No nosso caso, a equação é
, então a equação característica fica:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Ou seja:
Passo 6
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos a segunda condição inicial
:
Ou seja:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: