- Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Passo 1
O enunciado pede para representar a função
como série de potências e determinar o raio de convergência. O assunto envolve séries geométricas e derivação termo a termo de séries de potências.
Passo 2
Lembramos que a série geométrica diz que para
vale
Aqui podemos identificar
, portanto
válido enquanto
, ou seja
.
Passo 3
Para chegar em
usamos derivação termo a termo. De fato,
e também
Passo 4
Agora igualamos as duas expressões:
Mudando o índice para
e dividindo por
, obtemos
Passo 5
O raio de convergência continua vindo de
, logo
. Assim o raio é
.
Resposta
A representação por série de potências é
e o raio de convergência é
.