1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=1(1+4 x)^2

Passo 1

O enunciado pede para representar a função f(x)=1/(1+4x)^2 como série de potências e determinar o raio de convergência. O assunto envolve séries geométricas e derivação termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Lembramos que a série geométrica diz que para |t|<1 vale
11-t=sumn=0^infty t^n
Aqui podemos identificar t=-4x, portanto
11+4x=11-(-4x)=sumn=0^infty(-4x)^n,
válido enquanto |-4x|<1, ou seja |x|<1/4.

Passo 3

Para chegar em 1/(1+4x)^2 usamos derivação termo a termo. De fato,
ddxl(11+4xr)=-4,(1+4x)^-2
e também
ddxsumn=0^infty(-4x)^n= sumn=1^infty(-4)^n n,x^n-1

Passo 4

Agora igualamos as duas expressões:
-4,(1+4x)^-2=sumn=1^infty(-4)^n n,x^n-1
Mudando o índice para m=n-1 e dividindo por -4), obtemos
1(1+4x)^2=summ=0^infty(-4)^m(m+1)x^m

Passo 5

O raio de convergência continua vindo de |-4x|<1, logo |x|<1/4. Assim o raio é R=1/4.

Resposta

A representação por série de potências é
1(1+4x)^2=sumn=0^infty(n+1)(-4)^n x^n
e o raio de convergência é R=tfrac14.

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