Em cada caso, determine se o campo é conservativo e, em caso positivo obtenha a sua função potencial:
F(x, y)=pi y cos (pi x) i+sin (pi x) j;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=pi ycos(pi x),i+sin(pi x),j é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar sua função potencial. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Identificamos as componentes: P(x,y)=pi ycos(pi x) e Q(x,y)=sin(pi x). Como o domínio é R^2, bastará checar se partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=picos(pi x),
partial Qpartial x=picos(pi x)

Passo 4

Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 5

Para achar a função potencial phi(x,y), integr
amos P em relação a x:
phi(x,y)=integral pi ycos(pi x),dx = ysin(pi x)+h(y),
depois diferenciamos em relação a y e igualamos a Q:
partialphipartial y=sin(pi x)+h'(y)=sin(pi x)

Passo 6

Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

O campo é conservativo e sua função potencial pode ser tomada como
phi(x,y)=ysin(pi x)+C

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