Resolva o problema de valor iniciado dado:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y’’ − 4y’ + 3y = 0 com y(0) = 1 e y’(0) = 1/3. O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelo PVI.
y’’ − 4y’ + 3y = 0 com y(0) = 1 e y’(0) = 1/3. O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelo PVI.
Passo 2
Para usar o método da equação característica, testamos uma solução do tipo y(t) = e^{rt}. Substituindo na EDO y’’ − 4y’ + 3y = 0, obtemos a equação algébrica para r (equação característica):
Passo 3
Agora resolvemos a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara. Os coeficientes são a = 1, b = -4, c = 3, então
Isto dá as raízes
e
.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
Passo 5
Precisamos agora usar as condições iniciais. Primeiro calculamos a derivada:
Em t = 0, as condições viram o sistema
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda, get 2C_1 = 1/3 - 1 = -2/3, logo C_1 = -1/3. Substituindo em C_1 + C_2 = 1, vem C_2 = 1 + 1/3 = 4/3.
Subtraindo a primeira equação da segunda, get 2C_1 = 1/3 - 1 = -2/3, logo C_1 = -1/3. Substituindo em C_1 + C_2 = 1, vem C_2 = 1 + 1/3 = 4/3.
Passo 7
Com C_1 e C_2 determinados, basta substituir na solução geral para obter a solução que satisfaz o problema de valor inicial.