Resolva o problema de valor iniciado dado: y^prime prime-4 y^prime+3 y=0; y(0)=1, y^prime(0)=1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y’’ − 4y’ + 3y = 0 com y(0) = 1 e y’(0) = 1/3. O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes, e vamos precisar usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelo PVI.

Passo 2

Para usar o método da equação característica, testamos uma solução do tipo y(t) = e^{rt}. Substituindo na EDO y’’ − 4y’ + 3y = 0, obtemos a equação algébrica para r (equação característica):
r^2 - 4r + 3 = 0

Passo 3

Agora resolvemos a equação característica r^2 - 4r + 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Os coeficientes são a = 1, b = -4, c = 3, então
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Isto dá as raízes r1 = 3 e r2 = 1.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^3t + C2 e^t

Passo 5

Precisamos agora usar as condições iniciais. Primeiro calculamos a derivada:
y'(t) = 3C1 e^3t + C2 e^t
Em t = 0, as condições viram o sistema
C1 + C2 = 1, 3C1 + C2 = tfrac13

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda, get 2C_1 = 1/3 - 1 = -2/3, logo C_1 = -1/3. Substituindo em C_1 + C_2 = 1, vem C_2 = 1 + 1/3 = 4/3.

Passo 7

Com C_1 e C_2 determinados, basta substituir na solução geral para obter a solução que satisfaz o problema de valor inicial.

Resposta

y(t) = -tfrac13e^3t + tfrac43e^t

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