Em cada caso determine se o conjunto alpha é uma base do espaço V.
alpha=x, 1+x em V=P1(R)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto alpha=x,,1+x no espaço vetorial V=P1(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1. Para decidir se alpha é base de V, lembramos que uma base de um espaço de dimensão 2 é um conjunto de 2 vetores que sejam linearmente independentes (ou, equivalentemente, que gerem todo o espaço).

Passo 2

Observamos que dim V=2 e que alpha tem exatamente 2 elementos. Portanto, basta verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, então automaticamente formam uma base de V.

Passo 3

Para checar a independência linear, consideramos a combinação
c1,x + c2,(1+x) = 0,
que deve ser o polinômio nulo. Desenvolvendo, obtemos
(c1 + c2),x + c2 = 0
Igualando coeficientes do polinômio nulo, vem
c1 + c2 = 0, c2 = 0
Da segunda equação segue c2=0 e, na primeira, c1=0. Logo, a única solução é trivial, o que prova que alpha é linearmente independente.

Passo 4

Como alpha é linearmente independente e tem o mesmo número de elementos que a dimensão de V, concluímos que alpha gera V e, consequentemente, é uma base de V.

Resposta

alpha é uma base de V=P1(R).

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