Em cada caso determine se o conjunto
é uma base do espaço
.
em
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
no espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1. Para decidir se
é base de
, lembramos que uma base de um espaço de dimensão 2 é um conjunto de 2 vetores que sejam linearmente independentes (ou, equivalentemente, que gerem todo o espaço).
Passo 2
Observamos que
e que
tem exatamente 2 elementos. Portanto, basta verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, então automaticamente formam uma base de
.
Passo 3
Para checar a independência linear, consideramos a combinação
que deve ser o polinômio nulo. Desenvolvendo, obtemos
Igualando coeficientes do polinômio nulo, vem
Da segunda equação segue
e, na primeira,
. Logo, a única solução é trivial, o que prova que
é linearmente independente.
Passo 4
Como
é linearmente independente e tem o mesmo número de elementos que a dimensão de
, concluímos que
gera
e, consequentemente, é uma base de
.