A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan, a menos da ordem dos blocos, para uma matriz complexa cujo polinômio característico é
O conteúdo necessário é a teoria de forma canônica de Jordan: cada autovalor de multiplicidade algébrica dá origem a blocos de Jordan cujos tamanhos formam uma partição de .
Passo 2
Para montar a forma de Jordan, lembramos que para cada autovalor de multiplicidade algébrica devemos escolher uma partição de . Cada parte dessa partição indica o tamanho de um bloco de Jordan , onde
Passo 3
Para o autovalor lambda=2 com multiplicidade algébrica 3, as partições de 3 são:
– 3
– 2+1
– 1+1+1
Isto gera, respectivamente, os conjuntos de blocos
J3(2), J2(2),,J1(2), J1(2),,J1(2),,J1(2)
Passo 4
Para o autovalor lambda=5 com multiplicidade algébrica 2, as partições de 2 são:
– 2
– 1+1
Isto gera os conjuntos de blocos
J2(5), J1(5),,J1(5)
Passo 5
Todas as formas de Jordan possíveis são obtidas combinando cada escolha de blocos para lambda=2 com cada escolha de blocos para lambda=5. Como há 3 partições para 2 e 2 para 5, obtemos 3times2 = 6 formas canônicas distintas (até ordenamento dos blocos).