A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t-2)^3(t-5)^2

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan, a menos da ordem dos blocos, para uma matriz complexa cujo polinômio característico é
p(t) = (t-2)^3,(t-5)^2
O conteúdo necessário é a teoria de forma canônica de Jordan: cada autovalor lambda de multiplicidade algébrica m dá origem a blocos de Jordan cujos tamanhos formam uma partição de m.

Passo 2

Para montar a forma de Jordan, lembramos que para cada autovalor lambda de multiplicidade algébrica m devemos escolher uma partição de m. Cada parte dessa partição indica o tamanho de um bloco de Jordan Jk(lambda), onde
Jk(lambda) = lambda & 1 & & 0 & lambda & ddots& & & ddots&1 0 & & &lambda ktimes k

Passo 3

Para o autovalor lambda=2 com multiplicidade algébrica 3, as partições de 3 são:
3
2+1
1+1+1
Isto gera, respectivamente, os conjuntos de blocos
J3(2), J2(2),,J1(2), J1(2),,J1(2),,J1(2)

Passo 4

Para o autovalor lambda=5 com multiplicidade algébrica 2, as partições de 2 são:
2
1+1
Isto gera os conjuntos de blocos
J2(5), J1(5),,J1(5)

Passo 5

Todas as formas de Jordan possíveis são obtidas combinando cada escolha de blocos para lambda=2 com cada escolha de blocos para lambda=5. Como há 3 partições para 2 e 2 para 5, obtemos 3times2 = 6 formas canônicas distintas (até ordenamento dos blocos).

Resposta

J3(2),oplus,J2(5),
J3(2),oplus,J1(5),oplus,J1(5),
J2(2),oplus,J1(2),oplus,J2(5),
J2(2),oplus,J1(2),oplus,J1(5),oplus,J1(5),
J1(2),oplus,J1(2),oplus,J1(2),oplus,J2(5),
J1(2),oplus,J1(2),oplus,J1(2),oplus,J1(5),oplus,J1(5)

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