Em cada caso determine se o conjunto alpha é uma base do espaço V.
alpha=1+x, x+x^2, 1+x^2 em V=P2(R)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
alpha = ,1 + x,;x + x^2,;1 + x^2
é uma base de V = P2(R).
Sabemos que dim P2(R) = 3, então basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos escolher a base canônica de V,
1,;x,;x^2,
e escrever cada vetor de alpha em coordenadas relativas a ela:
1 + x ;longmapsto;(1,1,0), x + x^2;longmapsto;(0,1,1), 1 + x^2;longmapsto;(1,0,1)

Passo 3

Formamos a matriz A cujas colunas são essas coordenadas:
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Se det(A)neq0, então as colunas são independentes e, como são três vetores em espaço de dimensão 3, formam base.

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1cdotl(1cdot1 - 0cdot1r) - 0cdotl(1cdot1 - 0cdot0r) + 1cdotl(1cdot1 - 1cdot0r) = 1 + 1 = 2
Como det(A)=2neq0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim. Como det(A)neq0, o conjunto alpha é linearmente independente e, tendo três vetores em espaço de dimensão 3, é uma base de P2(R).

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