Considere
, com
e determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com
, isto é, o espaço de todos os polinômios reais de grau ≤
. Queremos verificar se
é subespaço de
. O que vamos usar: (i) o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço e (ii) a única solução polinomial de
será o polinômio zero.
Passo 2
Definimos a aplicação
Como derivada e multiplicação por escalar são operações lineares,
é linear. Logo
é subespaço de
, pois todo núcleo de operador linear é subespaço.
Passo 3
Para identificar
, escreva
Então
e
Para que esse polinômio seja o zero (isto é,
) é preciso anular coeficiente a coeficiente. Pelo termo de maior grau vem
. Em seguida
, e assim por diante até
. Logo a única solução é
.