Considere V=Pn(R), com n >= 1 e determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de V.
W=p in V mid p^prime+2 p=0V

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V=Pn(R) com n>=1, isto é, o espaço de todos os polinômios reais de grau ≤ n. Queremos verificar se
W=,pin Vmid p'(x)+2,p(x)=0 para todo x
é subespaço de V. O que vamos usar: (i) o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço e (ii) a única solução polinomial de p'+2p=0 será o polinômio zero.

Passo 2

Definimos a aplicação
T:Vlongrightarrow V, T(p)=p'+2p
Como derivada e multiplicação por escalar são operações lineares, T é linear. Logo
W=ker(T)
é subespaço de V, pois todo núcleo de operador linear é subespaço.

Passo 3

Para identificar ker(T), escreva
p(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0
Então
p'(x)=n,anx^n-1+(n-1)an-1x^n-2+cdots+a1
e
p'(x)+2p(x) =(2an)x^n+l(n,an+2an-1r)x^n-1+cdots+(a1+2a0)
Para que esse polinômio seja o zero (isto é, T(p)=0) é preciso anular coeficiente a coeficiente. Pelo termo de maior grau vem 2an=0implies an=0. Em seguida n,an+2an-1=0implies an-1=0, e assim por diante até a0=0. Logo a única solução é pequiv0.

Resposta

W é o subespaço trivial 0 de V.

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