Em cada caso, determine se
é contínua em
e se
é diferenciável em
:
Passo 1
Temos a função definida por partes: para verificar continuidade e diferenciabilidade em x=1, vamos usar as definições de limite, continuidade e derivada lateral.
Passo 2
Primeiro vamos checar a continuidade em x=1. Para isso, calculamos o limite à esquerda:
Agora calculamos o limite à direita e o valor de f em x=1: e
Agora calculamos o limite à direita e o valor de f em x=1:
Passo 3
Como
e
, os limites laterais não coincidem, logo f não é contínua em x=1.
Se uma função não é contínua num ponto, ela também não pode ser diferenciável ali. Portanto, f não é diferenciável em x=1.
Se uma função não é contínua num ponto, ela também não pode ser diferenciável ali. Portanto, f não é diferenciável em x=1.
Resposta
f não é contínua em x=1 e, consequentemente, não é diferenciável em x=1.