O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
para qualquer
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear não homogêneo de 1ª ordem que modela uma corrida armamentista: temos
e
. A tarefa é verificar que a solução proposta
com
funciona e discutir o comportamento a longo prazo. Vamos usar teoria de pontos de equilíbrio e estabilidade de sistemas lineares.
Passo 2
Para encontrar o ponto de equilíbrio de um sistema não homogêneo, imponho
e
. Assim resolvo o sistema
Passo 3
Resolvendo essas duas equações simultâneas por eliminação ou substituição, obtenho
e
. Logo
é de fato o ponto onde as derivadas se anulam.
Passo 4
Para verificar que
é solução, basta notar que se eu substituir essas constantes em
e
, obtenho
Como as derivadas são zero, as funções constantes
e
satisfazem o sistema para todo
.
Passo 5
Para estudar o comportamento a longo prazo (estabilidade), faço a mudança de variável
,
. O sistema em
fica homogêneo:
Passo 6
A matriz de coeficientes é
. O polinômio característico é
Passo 7
cuja soluções são
e
.
Como temos um autovalor positivo ( ), o ponto de equilíbrio
é um selim instável. Ou seja, se o sistema começar exatamente em
, fica lá; mas qualquer pequena perturbação na direção do autovetor associado a
cresce exponencialmente.
Como temos um autovalor positivo (
Resposta
A solução proposta
é um ponto de equilíbrio do sistema e, de fato, satisfaz as equações diferenciais. A longo prazo esse ponto é instável (selim), pois há um autovalor positivo: só se mantém lá se a condição inicial for exatamente
; qualquer desvio cresce exponencialmente na direção do modo instável.