O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
& d xd t=3 y-2 x-10 & d yd t=4 x-3 y-10
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
x(0)=10, y(0)=10: x(t)=10, y(t)=10 para qualquer t

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear não homogêneo de 1ª ordem que modela uma corrida armamentista: temos dot x=3y-2x-10 e dot y=4x-3y-10. A tarefa é verificar que a solução proposta x(t)=10, y(t)=10 com x(0)=10, y(0)=10 funciona e discutir o comportamento a longo prazo. Vamos usar teoria de pontos de equilíbrio e estabilidade de sistemas lineares.

Passo 2

Para encontrar o ponto de equilíbrio de um sistema não homogêneo, imponho dot x=0 e dot y=0. Assim resolvo o sistema
3y-2x-10=0
4x-3y-10=0

Passo 3

Resolvendo essas duas equações simultâneas por eliminação ou substituição, obtenho x=10 e y=10. Logo (10,10) é de fato o ponto onde as derivadas se anulam.

Passo 4

Para verificar que x(t)=10, y(t)=10 é solução, basta notar que se eu substituir essas constantes em dot x e dot y, obtenho
dot x=3cdot10-2cdot10-10=30-20-10=0,
dot y=4cdot10-3cdot10-10=40-30-10=0
Como as derivadas são zero, as funções constantes x(t)=10 e y(t)=10 satisfazem o sistema para todo t.

Passo 5

Para estudar o comportamento a longo prazo (estabilidade), faço a mudança de variável u=x-10, v=y-10. O sistema em (u,v) fica homogêneo:
dot u=-2u+3v,
dot v=4u-3v

Passo 6

A matriz de coeficientes é A=-2&34&-3. O polinômio característico é
det(A-lambda I)=lambda^2+5lambda-6=0,

Passo 7

cuja soluções são lambda1=1 e lambda2=-6.
Como temos um autovalor positivo ( lambda1=1>0), o ponto de equilíbrio (10,10) é um selim instável. Ou seja, se o sistema começar exatamente em (10,10), fica lá; mas qualquer pequena perturbação na direção do autovetor associado a lambda1=1 cresce exponencialmente.

Resposta

A solução proposta x(t)=10, y(t)=10 é um ponto de equilíbrio do sistema e, de fato, satisfaz as equações diferenciais. A longo prazo esse ponto é instável (selim), pois há um autovalor positivo: só se mantém lá se a condição inicial for exatamente (10,10); qualquer desvio cresce exponencialmente na direção do modo instável.

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