Determine um número positivo de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a| para o caso abaixo:
lim x 4 4 x^2-4 x-2 x+1=5, varepsilon=0,003.

Passo 1

Temos o limite limxto4f(x)=5, onde f(x)=4x^2-4x-32x+1. Queremos encontrar de0 tal que sempre que 0<|x-4| tenha-se |f(x)-5| para varepsilon=0,003. Vamos usar a definição de limite para função.

Passo 2

Vamos calcular a diferença |f(x)-5| e tentar expressá-la em função de |x-4|. Primeiro escrevemos:
|f(x)-5|=|4x^2-4x-32x+1-5|

Passo 3

Agora vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador e simplificar o numerador:
4x^2-4x-32x+1-5=4x^2-4x-3-5(2x+1)2x+1=4x^2-4x-3-10x-52x+1=4x^2-14x-82x+1

Passo 4

Note que o numerador pode ser fatorado:
4x^2-14x-8=2(2x^2-7x-4)=2(2x+1)(x-4)

Passo 5

Substituindo de volta em |f(x)-5| e cancelando o fator (2x+1) (que não é zero perto de x=4), obtemos:
|f(x)-5|=|2(2x+1)(x-4)2x+1|=2|x-4|

Passo 6

Para garantir |f(x)-5| basta impor
2|x-4|
ou seja
|x-4|

Passo 7

Portanto podemos escolher
de

Passo 8

Substituindo varepsilon=0,003 fica:
de

Resposta

de

Exercícios relacionados