Em cada caso, determine se f é contínua em x=1 e se f é diferenciável em x=1:
f(x)=ll3-x1^2, & se x<1 1raizx, & se x >= 1

Passo 1

Temos a função
f(x)= 3-x1^2, & x<1, 1raizx, & x>=1
Queremos estudar continuidade e diferenciabilidade em x=1. Vamos usar os conceitos de limite lateral, definição de continuidade em um ponto e definição de derivada como limite de taxa de variação.

Passo 2

Para testar continuidade em x=1, checamos se
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)
Pela esquerda,
limxto1^-f(x)=limxto1^-(3-x)=3-1=2
Pela direita,
limxto1^+f(x)=limxto1^+1raizx=1
E

Como 2 ≠ 1, os limites laterais não coincidem nem igualam f(1), logo f não é contínua em x=1.

Passo 3

Derivabilidade implica continuidade. Como f não é contínua em x=1, ela não pode ser diferenciável aí. Além disso, comparando derivadas laterais: para x<1, f(x)=3−x tem

portanto
; para x>1, f(x)=x^{-1/2} tem

logo
. Como -1 ≠ -½, as derivadas laterais diferem, confirmando que f não é diferenciável em x=1.

Resposta

f não é contínua em x=1 e não é diferenciável em x=1

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