Em cada caso, determine se
é contínua em
e se
é diferenciável em
:
Passo 1
Temos a função
Queremos estudar continuidade e diferenciabilidade em x=1. Vamos usar os conceitos de limite lateral, definição de continuidade em um ponto e definição de derivada como limite de taxa de variação.
Passo 2
Para testar continuidade em x=1, checamos se
Pela esquerda,
Pela direita,
E
Como 2 ≠ 1, os limites laterais não coincidem nem igualam f(1), logo f não é contínua em x=1.
Como 2 ≠ 1, os limites laterais não coincidem nem igualam f(1), logo f não é contínua em x=1.
Passo 3
Derivabilidade implica continuidade. Como f não é contínua em x=1, ela não pode ser diferenciável aí. Além disso, comparando derivadas laterais: para x<1, f(x)=3−x tem
portanto
; para x>1, f(x)=x^{-1/2} tem
logo
. Como -1 ≠ -½, as derivadas laterais diferem, confirmando que f não é diferenciável em x=1.
portanto
logo
Resposta
f não é contínua em x=1 e não é diferenciável em x=1