O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
& d xd t=3 y-2 x-10 & d yd t=4 x-3 y-10
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
x(0)=1, y(0)=29: x(t)=-12 e^-6 t+3 e^t+10, y(t)=16 e^-6 t+3 e^t+10

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de EDOs de primeira ordem (conteúdo: análise de estabilidade de sistemas lineares) e pede para verificar que a solução proposta satisfaz tanto as equações quanto as condições iniciais e, em seguida, discutir o comportamento de longo prazo.

Passo 2

Verificamos primeiro as condições iniciais em t=0. Para x(0) temos x(0)=-12e^-6cdot0+3e^0+10=-12+3+10=1. Para y(0) temos y(0)=16e^-6cdot0+3e^0+10=16+3+10=29. Portanto, a solução proposta satisfaz as condições iniciais.

Passo 3

Agora checamos se a solução satisfaz as equações diferenciais. Calculamos as derivadas:
x'(t)=(-12)(-6)e^-6t+3e^t=72e^-6t+3e^t,
enquanto o lado direito da primeira equação é
$$3y-2x-10=3(16e{-6t}+3e{t}+10)-2(-12e{-6t}+3e{t}+10)-10=72e{-6t}+3e{t}.
3y-2x-10=3(16e^-6t+3e^t+10)-2(-12e^-6t+3e^t+10)-10=72e^-6t+3e^t y’(t)=16(-6)e{-6t}+3e{t}=-96e{-6t}+3e{t},$$
x' =3y-2x-10
o que confirma y'(t)=16(-6)e^-6t+3e^t=-96e^-6t+3e^t,.

Passo 4

Para discutir o comportamento a longo prazo, observamos que e^-6tto0 e e^tto+infty quando tto+infty. Assim, x(t) o3e^t+10 e y(t) o3e^t+10, ou seja, ambas as variáveis crescem exponencialmente e divergem para +∞. O ponto de equilíbrio (10,10) é instável (direção de crescimento associada a autovalor +1 domina).

Resposta

A solução proposta satisfaz o sistema e as condições iniciais, e para t→∞ temos x(t), y(t)∼3e⁽ᵗ⁾+10, ou seja, ambas divergem exponencialmente (modelo instável).

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