O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear de EDOs de primeira ordem (conteúdo: análise de estabilidade de sistemas lineares) e pede para verificar que a solução proposta satisfaz tanto as equações quanto as condições iniciais e, em seguida, discutir o comportamento de longo prazo.
Passo 2
Verificamos primeiro as condições iniciais em t=0. Para x(0) temos
. Para y(0) temos
. Portanto, a solução proposta satisfaz as condições iniciais.
Passo 3
Agora checamos se a solução satisfaz as equações diferenciais. Calculamos as derivadas:
enquanto o lado direito da primeira equação é
$$3y-2x-10=3(16e{-6t}+3e{t}+10)-2(-12e{-6t}+3e{t}+10)-10=72e{-6t}+3e{t}.
o que confirma
Passo 4
Para discutir o comportamento a longo prazo, observamos que
e
quando
. Assim,
e
, ou seja, ambas as variáveis crescem exponencialmente e divergem para +∞. O ponto de equilíbrio
é instável (direção de crescimento associada a autovalor +1 domina).
Resposta
A solução proposta satisfaz o sistema e as condições iniciais, e para t→∞ temos x(t), y(t)∼3e⁽ᵗ⁾+10, ou seja, ambas divergem exponencialmente (modelo instável).