O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
& d xd t=3 y-2 x-10 & d yd t=4 x-3 y-10
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
x(0)=1, y(0)=22: x(t)=10-9 e^-6 t, y(t)=10+12 e^-6 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que modela uma corrida armamentista de Richardson. As equações são:
& d xd t = 3 y - 2 x - 10 & d yd t = 4 x - 3 y - 10
A gente quer verificar se a solução proposta para as condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 22 $ funciona, ou seja, se satisfaz essas equações, e também entender como o sistema se comporta a longo prazo. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre sistemas lineares de equações diferenciais e verificação de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a solução proposta realmente satisfaz as equações do sistema. A solução dada é:
x(t) = 10 - 9 e^-6 t, y(t) = 10 + 12 e^-6 t
Para isso, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ x(t) $:
x(t)
Calculando a derivada de $ y(t) $:
d xd t = dd t [10 - 9 e^-6 t] = 0 - 9 cdot (-6) e^-6 t = 54 e^-6 t

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x(t) $ e $ y(t) $ nas equações do sistema para ver se as igualdades são verdadeiras.
Primeira equação:
x(t)
Substituindo:
y(t)
Simplificando o lado direito:
d xd t = 3 y - 2 x - 10
Então,
54 e^-6 t = 3 (10 + 12 e^-6 t) - 2 (10 - 9 e^-6 t) - 10
Está correto!

Passo 5

Segunda equação:
d yd t = 4 x - 3 y - 10
Substituindo:
-72 e^-6 t = 4 (10 - 9 e^-6 t) - 3 (10 + 12 e^-6 t) - 10
Simplificando o lado direito:
-72 e^-6 t = 40 - 36 e^-6 t - 30 - 36 e^-6 t - 10 = -72 e^-6 t + (40 - 30 - 10) = -72 e^-6 t + 0
Então,
-72 e^-6 t = -72 e^-6 t
Também está correto!

Passo 6

Agora, vamos verificar se a solução atende às condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 22 $.
Substituindo $ t = 0 $ em $ x(t) $:
x(0) = 1
Substituindo $ t = 0 $ em $ y(t) $:
y(0) = 22
Então, as condições iniciais também estão satisfeitas!

Passo 7

Por fim, vamos discutir o comportamento a longo prazo das soluções. Observe que as soluções têm o termo $ e^{-6 t} $.
Quando $ t $ tende para o infinito:
e^-6 t
Então,
t
Isso significa que, com o tempo, tanto $ x(t) $ quanto $ y(t) $ se aproximam de 10. Portanto, o sistema estabiliza em $ x = 10 $ e $ y = 10 $ para $ t $ muito grande.

Resposta

A solução proposta satisfaz o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais dadas. A longo prazo, tanto $ x(t) $ quanto $ y(t) $ tendem para 10, indicando que o sistema estabiliza nesse ponto conforme $ t $ aumenta.

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