O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que modela uma corrida armamentista de Richardson. As equações são:
A gente quer verificar se a solução proposta para as condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 22 $ funciona, ou seja, se satisfaz essas equações, e também entender como o sistema se comporta a longo prazo. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre sistemas lineares de equações diferenciais e verificação de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a solução proposta realmente satisfaz as equações do sistema. A solução dada é:
Para isso, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ x(t) $:
Calculando a derivada de $ y(t) $:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x(t) $ e $ y(t) $ nas equações do sistema para ver se as igualdades são verdadeiras.
Primeira equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Então,
Está correto!
Passo 5
Segunda equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Então,
Também está correto!
Passo 6
Agora, vamos verificar se a solução atende às condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 22 $.
Substituindo $ t = 0 $ em $ x(t) $:
Substituindo $ t = 0 $ em $ y(t) $:
Então, as condições iniciais também estão satisfeitas!
Passo 7
Por fim, vamos discutir o comportamento a longo prazo das soluções. Observe que as soluções têm o termo $ e^{-6 t} $.
Quando $ t $ tende para o infinito:
Então,
Isso significa que, com o tempo, tanto $ x(t) $ quanto $ y(t) $ se aproximam de 10. Portanto, o sistema estabiliza em $ x = 10 $ e $ y = 10 $ para $ t $ muito grande.
Resposta
A solução proposta satisfaz o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais dadas. A longo prazo, tanto $ x(t) $ quanto $ y(t) $ tendem para 10, indicando que o sistema estabiliza nesse ponto conforme $ t $ aumenta.