Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 4} $ no ponto onde $ x_{0} = \sqrt{5} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(x_{0}) $. Isso significa substituir $ x_{0} $ na função original:
Então, o ponto de tangência é $ \left(\sqrt{5}, 3\right) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A função é:
Vamos usar a regra da cadeia para derivar.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, substituímos $ x_{0} = \sqrt{5} $ na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:
Passo 5
Com a inclinação $ m = \frac{\sqrt{5}}{3} $ e o ponto $ \left(\sqrt{5}, 3\right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Se preferir, podemos deixar a equação nessa forma ou simplificar mais, dependendo do que for solicitado.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ \left(\sqrt{5}, 3\right) $ é: