Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada caso:
f(x)=raizx^2+4, x0=raiz5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = \sqrt{x^{2} + 4} $ no ponto onde $ x_{0} = \sqrt{5} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(x_{0}) $. Isso significa substituir $ x_{0} $ na função original:
f(x0)
Então, o ponto de tangência é $ \left(\sqrt{5}, 3\right) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A função é:
f(x)
Vamos usar a regra da cadeia para derivar.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 12(x^2 + 4)^-12 cdot 2x = xraizx^2 + 4
Agora, substituímos $ x_{0} = \sqrt{5} $ na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:
x0 = raiz5

Passo 5

Com a inclinação $ m = \frac{\sqrt{5}}{3} $ e o ponto $ \left(\sqrt{5}, 3\right) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = raiz53
Substituindo:
(raiz5, 3)
Se preferir, podemos deixar a equação nessa forma ou simplificar mais, dependendo do que for solicitado.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ \left(\sqrt{5}, 3\right) $ é:
f

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