Em cada caso, determine as curvas integrais do campo
.
, com
e
constantes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos as curvas integrais de um campo vetorial constante, ou seja,
, onde
,
e
são constantes reais. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e suas curvas integrais, que são caminhos no espaço onde, em cada ponto, a direção do vetor tangente à curva é igual ao vetor do campo naquele ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como equações diferenciais de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas integrais. Uma curva integral de um campo vetorial
é uma curva
tal que sua derivada em relação a
é igual ao campo nesse ponto. Em outras palavras:
Como nosso campo
é constante, isso simplifica bastante as coisas.
Passo 3
Vamos escrever as equações diferenciais para cada componente. Temos:
Essas são equações diferenciais simples, onde as derivadas são constantes.
Passo 4
Agora, vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar as funções
,
e
. A integração de uma constante é simplesmente a constante multiplicada por
mais uma constante de integração. Então:
Aqui,
,
e
são as coordenadas do ponto inicial da curva integral, ou seja, onde
.
Passo 5
Agora, podemos escrever a curva integral completa combinando as três componentes:
Isso representa uma linha reta no espaço, passando pelo ponto
com direção dada pelo vetor
.
Resposta
As curvas integrais do campo
são retas no espaço dadas por:
onde
é o ponto inicial da curva.