Em cada caso, determine as curvas integrais do campo F. F=a i+b j+c k, com a, b e c constantes reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos as curvas integrais de um campo vetorial constante, ou seja, F = a,i + b,j + c,k, onde a, b e c são constantes reais. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e suas curvas integrais, que são caminhos no espaço onde, em cada ponto, a direção do vetor tangente à curva é igual ao vetor do campo naquele ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como equações diferenciais de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas integrais. Uma curva integral de um campo vetorial F é uma curva r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que sua derivada em relação a t é igual ao campo nesse ponto. Em outras palavras:
drdt = F
Como nosso campo F é constante, isso simplifica bastante as coisas.

Passo 3

Vamos escrever as equações diferenciais para cada componente. Temos:
dxdt = a
dydt = b
dzdt = c
Essas são equações diferenciais simples, onde as derivadas são constantes.

Passo 4

Agora, vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar as funções x(t), y(t) e z(t). A integração de uma constante é simplesmente a constante multiplicada por t mais uma constante de integração. Então:
x(t) = a t + x0
y(t) = b t + y0
z(t) = c t + z0
Aqui, x0, y0 e z0 são as coordenadas do ponto inicial da curva integral, ou seja, onde t = 0.

Passo 5

Agora, podemos escrever a curva integral completa combinando as três componentes:
r(t) = (a t + x0),i + (b t + y0),j + (c t + z0),k
Isso representa uma linha reta no espaço, passando pelo ponto (x0, y0, z0) com direção dada pelo vetor F = a,i + b,j + c,k.

Resposta

As curvas integrais do campo F = a,i + b,j + c,k são retas no espaço dadas por:
r(t) = (a t + x0),i + (b t + y0),j + (c t + z0),k
onde (x0, y0, z0) é o ponto inicial da curva.

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