Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
sigma1=(1+t, 2+3 t) e sigma2=(1-t, 3+t^2) t>0
Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é essa velocidade?

Passo 1

O enunciado dá a posição do segundo carro por σ₂(t)=(1−t,3+t²) com t>0 e pede o ponto em que sua velocidade escalar é mínima e qual é esse valor. Vamos usar cálculo de derivada de vetores (para obter a velocidade) e otimização de uma função de uma variável (para achar o mínimo).

Passo 2

Derivando componente a componente, a velocidade vetorial do segundo carro é
v₂(t)=σ₂'(t)=l(ddt(1-t),ddt(3+t^2)r)=(-1,2t)
Aqui aplicamos a definição de derivada a cada componente do vetor posição.

Passo 3

A velocidade escalar (ou rapidez) é o módulo de v₂(t). Calculamos

Usamos a fórmula do módulo em R²: raiz da soma dos quadrados das componentes.

Passo 4

Para achar o mínimo de v(t) em t>0, analisamos f(t)=√(1+4t²). Como a raiz é crescente, basta minimizar g(t)=1+4t².
Calculamos g’(t)=8t>0 para todo t>0, logo g é estritamente crescente. Isto significa que v(t) também cresce em t>0, tendo seu menor valor quando t é tão próximo de zero quanto possível. No limite, t→0, v atinge o seu ínfimo em 1.

Passo 5

Substituindo t=0 na posição σ₂(t) obtemos o ponto
σ₂(0)=(1-0,3+0^2)=(1,3)
E a velocidade escalar mínima é
v(0)=raiz1+4cdot0^2=1

Resposta

A velocidade escalar do segundo carro é mínima no ponto (1,3) e vale 1.

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