Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado. r(t)=t i+2 t j+t^2 k, no ponto P(1,2,1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a reta tangente e o plano normal à curva dada pela função vetorial r(t) = t i + 2t j + t^2 k no ponto P(1,2,1). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais para encontrar a reta tangente e o plano normal em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto P(1,2,1). Sabemos que:
r(t) = t i + 2t j + t^2 k
Comparando com as coordenadas de P, temos:
t = 1 (coordenada x)
2t = 2 Rightarrow t = 1 (coordenada y)
t^2 = 1 Rightarrow t = 1 (coordenada z)
Assim, t = 1 é o parâmetro correspondente ao ponto P(1,2,1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto P. Para isso, calculamos a derivada da função vetorial r(t) em relação a t:
r'(t) = drdt = ddt(t i + 2t j + t^2 k) = i + 2 j + 2t k
No ponto t = 1, a derivada fica:
r'(1) = i + 2 j + 2(1) k = i + 2 j + 2 k
Este vetor r'(1) é o vetor tangente à curva no ponto P.

Passo 4

Com o vetor tangente r'(1) = i + 2 j + 2 k e o ponto P(1,2,1), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
x = 1 + t y = 2 + 2t z = 1 + 2t
Onde t é o parâmetro da reta.

Passo 5

Agora, vamos determinar o plano normal à curva no ponto P(1,2,1). O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente r'(1) e passa pelo ponto P. A equação geral de um plano é dada por:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal ao plano, que, neste caso, é o vetor tangente r'(1). Portanto, temos:
1(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0

Resposta

A reta tangente à curva no ponto P(1,2,1) é dada por:
x = 1 + t y = 2 + 2t z = 1 + 2t
E o plano normal à curva no mesmo ponto é:
(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0

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