Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado. , no ponto .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a reta tangente e o plano normal à curva dada pela função vetorial no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais para encontrar a reta tangente e o plano normal em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Sabemos que:
Comparando com as coordenadas de , temos:
Assim, é o parâmetro correspondente ao ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto . Para isso, calculamos a derivada da função vetorial em relação a :
No ponto , a derivada fica:
Este vetor é o vetor tangente à curva no ponto .
Passo 4
Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde t é o parâmetro da reta.
Passo 5
Agora, vamos determinar o plano normal à curva no ponto P(1,2,1). O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente r'(1) e passa pelo ponto P. A equação geral de um plano é dada por:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal ao plano, que, neste caso, é o vetor tangente r'(1). Portanto, temos:
1(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0
Resposta
A reta tangente à curva no ponto P(1,2,1) é dada por: