Em cada caso, determine as curvas integrais do campo
.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar as curvas integrais do campo vetorial
. Isso significa que queremos encontrar as trajetórias que uma partícula seguiria se estivesse movendo de acordo com esse campo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas integrais. Elas são soluções das equações diferenciais que descrevem o campo vetorial. Nesse caso, o campo
nos dá as direções e magnitudes das velocidades em cada ponto
. Então, para cada ponto na curva integral, temos:
Aqui,
é o parâmetro que acompanha o movimento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Exponenciando os dois lados para resolver para
:
Onde
é uma nova constante.
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a segunda equação:
Separando as variáveis:
Integrando:
Exponenciando:
Onde
é outra constante.
Passo 5
Para encontrar a relação entre
e
, vamos eliminar o parâmetro
. Observando as soluções:
Podemos dividir as duas equações:
Onde
é uma constante. Assim, temos:
Resposta
As curvas integrais do campo
são retas que passam pela origem, descritas pela equação
, onde
é uma constante que depende da condição inicial.