Em cada caso, determine as curvas integrais do campo F. F=x i+y j.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar as curvas integrais do campo vetorial F = x i + y j. Isso significa que queremos encontrar as trajetórias que uma partícula seguiria se estivesse movendo de acordo com esse campo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas integrais. Elas são soluções das equações diferenciais que descrevem o campo vetorial. Nesse caso, o campo F nos dá as direções e magnitudes das velocidades em cada ponto (x, y). Então, para cada ponto na curva integral, temos:
dxdt = x e dydt = y
Aqui, t é o parâmetro que acompanha o movimento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação diferencial:
dxdt = x
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis:
dxx = dt
Integrando ambos os lados:
ln|x| = t + C1
Onde C1 é uma constante de integração. Exponenciando os dois lados para resolver para x:
x = e^t + C1 = C e^t
Onde C = e^C1 é uma nova constante.

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a segunda equação:
dydt = y
Separando as variáveis:
dyy = dt
Integrando:
ln|y| = t + C2
Exponenciando:
y = e^t + C2 = D e^t
Onde D = e^C2 é outra constante.

Passo 5

Para encontrar a relação entre x e y, vamos eliminar o parâmetro t. Observando as soluções:
x = C e^t e y = D e^t
Podemos dividir as duas equações:
yx = DC = k
Onde k é uma constante. Assim, temos:
y = kx

Resposta

As curvas integrais do campo F = x i + y j são retas que passam pela origem, descritas pela equação y = kx, onde k é uma constante que depende da condição inicial.

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