Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado. r(t)=cos (4 t) i+sen(4 t) j+t k, no ponto em que t=pi / 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente e o plano normal à curva dada no ponto correspondente a $ t = \frac{\pi}{8} $. A curva está definida por $ \mathbf{r}(t) = \cos(4t)\mathbf{i} + \sin(4t)\mathbf{j} + t\mathbf{k} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para achar a direção da reta tangente e o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = \frac{\pi}{8} $. Substituindo esse valor na equação de $ \mathbf{r}(t) $:
t = pi8
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
r(t)
Portanto:
r(pi8) = cos(4 cdot pi8)i + sin(4 cdot pi8)j + pi8k
Então, o ponto na curva é $ (0, 1, \frac{\pi}{8}) $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que nos dá o vetor velocidade ou o vetor tangente à curva:
r(t)
Calculando cada derivada:
t
Então:
r'(t) = ddt [cos(4t)]i + ddt [sin(4t)]j + ddt [t]k

Passo 4

Vamos avaliar $ \mathbf{r}’(t) $ no ponto $ t = \frac{\pi}{8} $:
r'(t)
Sabemos que:
t = pi8
Portanto:
r'(pi8) = -4sin(pi2)i + 4cos(pi2)j + k
Esse vetor é a direção da reta tangente à curva no ponto dado.

Passo 5

Com as informações encontradas, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Sabendo que a reta passa pelo ponto $ (0, 1, \frac{\pi}{8}) $ e tem direção $ \mathbf{v} = -4\mathbf{i} + \mathbf{k} $, temos:
(0, 1, pi8)
Onde $ s $ é o parâmetro da reta.

Passo 6

Agora, vamos determinar o plano normal à curva no ponto dado. O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente. Para isso, precisamos de uma equação geral do plano na forma:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde $ (A, B, C) $ são as componentes do vetor normal, que neste caso é o vetor tangente $ \mathbf{r}’\left(\frac{\pi}{8}\right) = (-4, 0, 1) $, e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto na curva $ (0, 1, \frac{\pi}{8}) $.

Passo 7

Substituindo na equação do plano:
-4(x - 0) + 0(y - 1) + 1(z - pi8) = 0
Simplificando:
-4x + z - pi8 = 0
Ou, rearranjando:
-4x + z = pi8

Resposta

A reta tangente à curva no ponto dado é definida por:
x = -4s y = 1 z = pi8 + s
E o plano normal à curva nesse ponto é:
-4x + z = pi8

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