Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado.
, no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente e o plano normal à curva dada no ponto correspondente a $ t = \frac{\pi}{8} $. A curva está definida por $ \mathbf{r}(t) = \cos(4t)\mathbf{i} + \sin(4t)\mathbf{j} + t\mathbf{k} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para achar a direção da reta tangente e o vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = \frac{\pi}{8} $. Substituindo esse valor na equação de $ \mathbf{r}(t) $:
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
Portanto:
Então, o ponto na curva é $ (0, 1, \frac{\pi}{8}) $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que nos dá o vetor velocidade ou o vetor tangente à curva:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Vamos avaliar $ \mathbf{r}’(t) $ no ponto $ t = \frac{\pi}{8} $:
Sabemos que:
Portanto:
Esse vetor é a direção da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 5
Com as informações encontradas, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Sabendo que a reta passa pelo ponto $ (0, 1, \frac{\pi}{8}) $ e tem direção $ \mathbf{v} = -4\mathbf{i} + \mathbf{k} $, temos:
Onde $ s $ é o parâmetro da reta.
Passo 6
Agora, vamos determinar o plano normal à curva no ponto dado. O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente. Para isso, precisamos de uma equação geral do plano na forma:
Onde $ (A, B, C) $ são as componentes do vetor normal, que neste caso é o vetor tangente $ \mathbf{r}’\left(\frac{\pi}{8}\right) = (-4, 0, 1) $, e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto na curva $ (0, 1, \frac{\pi}{8}) $.
Passo 7
Substituindo na equação do plano:
Simplificando:
Ou, rearranjando:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto dado é definida por:
E o plano normal à curva nesse ponto é: