Verifique se o campo F é conservativo. Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva. F=5 x^4 y i+x cos (x y) j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial de onde ele deriva. O campo dado é:
F = 5x^4 y, i + x cos(x y), j
Vamos precisar dos conceitos de campos conservativos e funções potenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F = P, i + Q, j é conservativo se existir uma função escalar U(x, y) tal que:
F = nabla U = ( partial Upartial x ) i + ( partial Upartial y ) j
Uma condição importante para que F seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 3

Identificamos P e Q no campo F:
P = 5x^4 y e Q = x cos(x y)
Calculamos as derivadas parciais:
  1. partial Ppartial y:
partialpartial y(5x^4 y) = 5x^4
  1. partial Qpartial x:
partialpartial x(x cos(x y)) = cos(x y) + x cdot (-y sin(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y)
Agora, comparamos partial Ppartial y e partial Qpartial x:
5x^4 vs cos(x y) - x y sin(x y)
Claramente, 5x^4 neq cos(x y) - x y sin(x y) para valores gerais de x e y.

Resposta

O campo F não é conservativo.

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