Em cada caso, determine as curvas integrais do campo F. F=x i+y j+z k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as curvas integrais do campo vetorial F = x,i + y,j + z,k. Isso envolve entender equações diferenciais e curvas que seguem o campo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas integrais. As curvas integrais de um campo vetorial são aquelas curvas que, em cada ponto, têm a mesma direção do vetor do campo naquele ponto. Matemáticamente, se F = (Fx, Fy, Fz), então as curvas integrais satisfazem as equações diferenciais:
dxdt = Fx, dydt = Fy, dzdt = Fz
No nosso caso, F = (x, y, z), então temos:
dxdt = x, dydt = y, dzdt = z

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações diferenciais. Começamos com dxdt = x. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
x(t) = x0 e^t
onde x0 é a condição inicial para x quando t=0.

Passo 4

De maneira similar, resolvemos dydt = y:
y(t) = y0 e^t
e para dzdt = z:
z(t) = z0 e^t
onde y0 e z0 são as condições iniciais para y e z respectivamente.

Passo 5

Agora, observamos que todas as três funções têm a mesma exponencial e^t. Podemos relacionar y e z com x eliminando o parâmetro t. Dividindo y(t) por x(t):
y(t)x(t) = y0 e^tx0 e^t = y0x0 = C
onde C é uma constante. Assim, temos:
y = C x
Analogamente, para z:
z = D x
onde D é outra constante.

Passo 6

Essas equações mostram que y e z são proporcionais a x, o que significa que as curvas integrais são retas que passam pela origem no espaço tridimensional. Cada curva é determinada por uma combinação linear dessas proporções, definidas pelas constantes C e D.

Resposta

As curvas integrais do campo F = x,i + y,j + z,k são retas que passam pela origem, descritas pelas equações y = Cx e z = Dx, onde C e D são constantes reais.

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