Em cada caso, determine as curvas integrais do campo
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as curvas integrais do campo vetorial
. Isso envolve entender equações diferenciais e curvas que seguem o campo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas integrais. As curvas integrais de um campo vetorial são aquelas curvas que, em cada ponto, têm a mesma direção do vetor do campo naquele ponto. Matemáticamente, se
, então as curvas integrais satisfazem as equações diferenciais:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas equações diferenciais. Começamos com
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
onde
é a condição inicial para
quando
.
Passo 4
De maneira similar, resolvemos
:
e para
:
onde
e
são as condições iniciais para
e
respectivamente.
Passo 5
Agora, observamos que todas as três funções têm a mesma exponencial
. Podemos relacionar
e
com
eliminando o parâmetro
. Dividindo
por
:
onde
é uma constante. Assim, temos:
Analogamente, para
:
onde
é outra constante.
Passo 6
Essas equações mostram que
e
são proporcionais a
, o que significa que as curvas integrais são retas que passam pela origem no espaço tridimensional. Cada curva é determinada por uma combinação linear dessas proporções, definidas pelas constantes
e
.
Resposta
As curvas integrais do campo
são retas que passam pela origem, descritas pelas equações
e
, onde
e
são constantes reais.