Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das funções dadas a seguir.
y=integralsec (x)^x raiz1+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função $ y = \int_{\sec(x)}^{x} \sqrt{1+t^{2}} , dt $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso está relacionado ao estudo de derivadas e integrais, especialmente quando lidamos com integrais definidas que têm limites que dependem de $ x $. Vamos precisar entender como aplicar o teorema nesse contexto e usar um pouquinho de regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada e os limites dessa integral. Aqui, temos:
  • A função integranda é $ f(t) = \sqrt{1 + t^{2}} $.
  • O limite inferior é $ g(x) = \sec(x) $.
  • O limite superior é $ h(x) = x $.

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de $ x $, a derivada dessa função pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
x
Isso significa que precisamos calcular a função $ f(t) $ avaliada nos limites superior e inferior, multiplicadas pelas derivadas desses limites.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Avaliar $ f(t) $ no limite superior $ h(x) = x $:
    f(t)
  2. Derivar o limite superior $ h(x) = x $:
    h(x) = x
  3. Avaliar $ f(t) $ no limite inferior $ g(x) = \sec(x) $:
    f(h(x)) = raiz1 + x^2
  4. Derivar o limite inferior $ g(x) = \sec(x) $:
    h(x) = x

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
dydx = f(h(x)) cdot h'(x) - f(g(x)) cdot g'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
dydx = raiz1 + x^2 cdot 1 - raiz1 + sec^2(x) cdot sec(x) tan(x)

Resposta

A derivada da função é:
dydx = raiz1 + x^2 - raiz1 + sec^2(x) cdot sec(x) tan(x)

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