Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das funções dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função $ y = \int_{\sec(x)}^{x} \sqrt{1+t^{2}} , dt $ usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso está relacionado ao estudo de derivadas e integrais, especialmente quando lidamos com integrais definidas que têm limites que dependem de $ x $. Vamos precisar entender como aplicar o teorema nesse contexto e usar um pouquinho de regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada e os limites dessa integral. Aqui, temos:
- A função integranda é $ f(t) = \sqrt{1 + t^{2}} $.
- O limite inferior é $ g(x) = \sec(x) $.
- O limite superior é $ h(x) = x $.
Passo 3
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de $ x $, a derivada dessa função pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Isso significa que precisamos calcular a função $ f(t) $ avaliada nos limites superior e inferior, multiplicadas pelas derivadas desses limites.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
Avaliar $ f(t) $ no limite superior $ h(x) = x $:
-
Derivar o limite superior $ h(x) = x $:
-
Avaliar $ f(t) $ no limite inferior $ g(x) = \sec(x) $:
-
Derivar o limite inferior $ g(x) = \sec(x) $:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função é: