Determine qual é o ponto do plano
que está mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica. A questão é encontrar o ponto no plano
que está mais pertinho da origem (ponto
). Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e como encontrar o ponto mais próximo usando um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto mais próximo da origem em um plano, a gente pode pensar na linha que parte da origem e é perpendicular ao plano. Essa linha vai tocar o plano exatamente no ponto mais próximo.
Passo 3
O plano dado é
. O vetor normal a esse plano (que é perpendicular ao plano) é
. Isso porque os coeficientes de
,
e
na equação do plano representam as componentes do vetor normal.
Passo 4
Agora, vamos pensar na linha que começa na origem e vai na direção desse vetor normal. Qualquer ponto nessa linha pode ser escrito como
, onde
é um número real que a gente precisa encontrar.
Passo 5
Esse ponto
precisa estar no plano
. Então, vamos substituir
,
e
na equação do plano por
,
e
, respectivamente:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir de volta na expressão da linha para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo:
Resposta
O ponto do plano
que está mais próximo da origem é
.