Determine qual é o ponto do plano x+2 y+3 z=4 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria analítica. A questão é encontrar o ponto no plano x + 2y + 3z = 4 que está mais pertinho da origem (ponto (0, 0, 0)). Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e como encontrar o ponto mais próximo usando um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto mais próximo da origem em um plano, a gente pode pensar na linha que parte da origem e é perpendicular ao plano. Essa linha vai tocar o plano exatamente no ponto mais próximo.

Passo 3

O plano dado é x + 2y + 3z = 4. O vetor normal a esse plano (que é perpendicular ao plano) é n = (1, 2, 3). Isso porque os coeficientes de x, y e z na equação do plano representam as componentes do vetor normal.

Passo 4

Agora, vamos pensar na linha que começa na origem e vai na direção desse vetor normal. Qualquer ponto nessa linha pode ser escrito como r = t cdot n = t(1, 2, 3), onde t é um número real que a gente precisa encontrar.

Passo 5

Esse ponto r = (t, 2t, 3t) precisa estar no plano x + 2y + 3z = 4. Então, vamos substituir x, y e z na equação do plano por t, 2t e 3t, respectivamente:
t + 2(2t) + 3(3t) = 4

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de t:
t + 4t + 9t = 4 14t = 4 t = 414 = 27

Passo 7

Agora que temos t = 27, vamos substituir de volta na expressão da linha para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo:
r = ( 27, 2 cdot 27, 3 cdot 27 ) = ( 27, 47, 67 )

Resposta

O ponto do plano x + 2y + 3z = 4 que está mais próximo da origem é ( dfrac27, dfrac47, dfrac67 ).

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