Em cada caso, determine as curvas integrais do campo F. F=(z-y) i+(x-z) j+(y-x) k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial dado por F = (z - y) i + (x - z) j + (y - x) k e precisa encontrar as curvas integrais desse campo. Basicamente, as curvas integrais são caminhos que seguem exatamente a direção do campo vetorial em cada ponto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo de equações diferenciais e álgebra linear. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma curva integral para o campo F. Uma curva integral é uma trajetória r(t) = (x(t), y(t), z(t)) que, em cada ponto, tem a derivada igual ao vetor do campo naquele ponto. Ou seja:
drdt = F(r(t))
Isso nos dá um sistema de equações diferenciais:
dxdt = z - y dydt = x - z dzdt = y - x

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Uma maneira de fazer isso é derivar uma das equações para reduzir o sistema. Por exemplo, vamos derivar a primeira equação em relação a t:
d^2xdt^2 = ddt(z - y) = dzdt - dydt
Substituindo dzdt e dydt pelas outras equações do sistema:
d^2xdt^2 = (y - x) - (x - z) = y - x - x + z = y - 2x + z
Mas observando as equações originais, percebemos que podemos relacionar z e y. Vamos tentar isolar uma variável.

Passo 4

Vamos somar todas as três equações do sistema:
dxdt + dydt + dzdt = (z - y) + (x - z) + (y - x) = 0
Isso significa que:
dxdt + dydt + dzdt = 0 implies ddt(x + y + z) = 0
Portanto, x + y + z é uma constante. Vamos chamar essa constante de C:
x + y + z = C

Passo 5

Com a relação x + y + z = C, podemos expressar uma das variáveis em função das outras duas. Por exemplo, podemos escrever z = C - x - y. Vamos substituir isso na primeira equação do sistema:
dxdt = z - y = (C - x - y) - y = C - x - 2y
Agora, temos:
dxdt = C - x - 2y
Vamos resolver esse sistema reduzido.

Passo 6

Para facilitar, vamos assumir que a constante C = 0 (podemos fazer isso sem perda de generalidade, já que C apenas desloca a curva). Então temos:
x + y + z = 0 implies z = -x - y
Substituindo z na primeira equação:
dxdt = -x - y - y = -x - 2y
Agora, temos um sistema com duas equações:
dxdt = -x - 2y dydt = x - (-x - y) = x + x + y = 2x + y

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Podemos escrever em forma matricial:

$$
\frac{d}{dt}
ddt x y = -1 & -2 2 & 1 x y


$$
Para resolver sistemas lineares como este, encontramos os valores próprios e vetores próprios da matriz para construir a solução geral.

Passo 8

Primeiro, encontramos os valores próprios lambda resolvendo o determinante:
det -1 - lambda & -2 2 & 1 - lambda = ( -1 - lambda )(1 - lambda) - (-2)(2) = 0
Calculando:
(-1 - lambda)(1 - lambda) + 4 = ( -1 cdot 1 -1 (-lambda) - lambda cdot 1 + lambda^2 ) + 4 = (-1 + lambda - lambda + lambda^2) + 4 = lambda^2 -1 +4 = lambda^2 +3 =0
Então, temos:
lambda^2 + 3 = 0 implies lambda = pm iraiz3

Passo 9

Com valores próprios imaginários, a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno. A solução para x(t) e y(t) será:
x(t) = A cos(raiz3 t) + B sin(raiz3 t) y(t) = -A sin(raiz3 t) + B cos(raiz3 t)
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 10

Lembrando que z = -x - y, podemos encontrar z(t):
z(t) = -x(t) - y(t) = -[A cos(raiz3 t) + B sin(raiz3 t)] - [ -A sin(raiz3 t) + B cos(raiz3 t) ] = -A cos(raiz3 t) - B sin(raiz3 t) + A sin(raiz3 t) - B cos(raiz3 t) = (-A - B) cos(raiz3 t) + (A - B) sin(raiz3 t)

Resposta

As curvas integrais do campo F são dadas por:
x(t) = A cos(raiz3 t) + B sin(raiz3 t) y(t) = -A sin(raiz3 t) + B cos(raiz3 t) z(t) = (-A - B) cos(raiz3 t) + (A - B) sin(raiz3 t)
onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais da curva.

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