Em cada caso, determine as curvas integrais do campo . .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo vetorial dado por e precisa encontrar as curvas integrais desse campo. Basicamente, as curvas integrais são caminhos que seguem exatamente a direção do campo vetorial em cada ponto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo de equações diferenciais e álgebra linear. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma curva integral para o campo . Uma curva integral é uma trajetória que, em cada ponto, tem a derivada igual ao vetor do campo naquele ponto. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações diferenciais:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Uma maneira de fazer isso é derivar uma das equações para reduzir o sistema. Por exemplo, vamos derivar a primeira equação em relação a t:
d^2xdt^2 = ddt(z - y) = dzdt - dydt
Substituindo dzdt e dydt pelas outras equações do sistema:
d^2xdt^2 = (y - x) - (x - z) = y - x - x + z = y - 2x + z
Mas observando as equações originais, percebemos que podemos relacionar z e y. Vamos tentar isolar uma variável.
Portanto, x + y + z é uma constante. Vamos chamar essa constante de C:
x + y + z = C
Passo 5
Com a relação x + y + z = C, podemos expressar uma das variáveis em função das outras duas. Por exemplo, podemos escrever z = C - x - y. Vamos substituir isso na primeira equação do sistema:
dxdt = z - y = (C - x - y) - y = C - x - 2y
Agora, temos:
dxdt = C - x - 2y
Vamos resolver esse sistema reduzido.
Passo 6
Para facilitar, vamos assumir que a constante C = 0 (podemos fazer isso sem perda de generalidade, já que C apenas desloca a curva). Então temos:
x + y + z = 0 implies z = -x - y
Substituindo z na primeira equação:
dxdt = -x - y - y = -x - 2y
Agora, temos um sistema com duas equações:
dxdt = -x - 2y dydt = x - (-x - y) = x + x + y = 2x + y
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Podemos escrever em forma matricial:
$$
\frac{d}{dt} ddt x y = -1 & -2 2 & 1 x y
$$
Para resolver sistemas lineares como este, encontramos os valores próprios e vetores próprios da matriz para construir a solução geral.
Passo 8
Primeiro, encontramos os valores próprios lambda resolvendo o determinante: