Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x=y^2 e os planos z=0 e x+z=1 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos usar integração múltipla, que é uma técnica da matemática para calcular volumes de formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as formas que estão delimitando o sólido. O cilindro é uma parábola que se estende ao longo do eixo . Os planos é o plano xy, e é um plano inclinado que corta o eixo .

Passo 3

Vamos visualizar melhor: para cada valor de , varia de até onde o plano intercepta. Resolvendo na equação do plano, temos . Então, para cada ponto, varia de 0 até .

Passo 4

O próximo passo é determinar os limites de integração para e . Observando o cilindro , percebemos que varia de a porque quando , . Então, vai de a .

Passo 5

Para cada , varia de até (já que e implica ). Assim, os limites para são de a .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
V = integraly=-1^1 integralx=y^2^1 integralz=0^1 - x dz, dx, dy
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 - x dz = (1 - x) - 0 = 1 - x :
V = integral-1^1 integraly^2^1 (1 - x) dx, dy
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integraly^2^1 (1 - x) dx = [ x - x^22 ]y^2^1 = (1 - 12) - (y^2 - y^42) = 12 - y^2 + y^42 :
V = integral-1^1 ( 12 - y^2 + y^42 ) dy
A integral agora é:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a V = [ 12y - y^33 + y^510 ]-1^1 = ( 12 - 13 + 110 ) - ( -12 + 13 - 110 ) :
V = ( 1530 - 1030 + 330 ) - ( -1530 + 1030 - 330 ) = 830 + 830 = 1630 = 815
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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