Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para isso, vamos usar integração múltipla, que é uma técnica da matemática para calcular volumes de formas mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as formas que estão delimitando o sólido. O cilindro
é uma parábola que se estende ao longo do eixo
. Os planos
é o plano xy, e
é um plano inclinado que corta o eixo
.
Passo 3
Vamos visualizar melhor: para cada valor de
,
varia de
até onde o plano
intercepta. Resolvendo
na equação do plano, temos
. Então, para cada ponto,
varia de 0 até
.
Passo 4
O próximo passo é determinar os limites de integração para
e
. Observando o cilindro
, percebemos que
varia de
a
porque quando
,
. Então,
vai de
a
.
Passo 5
Para cada
,
varia de
até
(já que
e
implica
). Assim, os limites para
são de
a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
A integral agora é:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.